Question

Площадь трапеции АВСD равна 90. Продолжения боковых сторон трапеции АВ и CD пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника АРD если известно что BC:AD=2:7

Answer 1

Обозначим площадь BPC за S. Треугольники ВРС и АРD подобны, поэтому S  равна $\frac{49}{4}$  площади APD. площадь APD это 90 + S. Получаем уравнение:
$90 + S = \frac{49}{4} S$
Выражаем S и получаем, что S = 8. Площадь APD = 90 + 8 = 98

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника АРD, мы должны сначала найти длину основания треугольника, которое является отрезком AD. Нам дано, что отношение BC к AD составляет 2:7. Мы можем использовать это отношение, чтобы найти длину AD.

Пусть BC = 2x, где x - некоторая положительная константа. Тогда AD = 7x.

Теперь давайте рассмотрим треугольник APC. Мы знаем, что AC является боковой стороной трапеции, и она пересекает продолжение боковой стороны AB в точке P. Таким образом, треугольник APC является подобным треугольнику АРD.

По свойствам подобных треугольников, отношение длин боковых сторон треугольников APC и АРD будет таким же, как отношение длин оснований треугольников. Таким образом, отношение AP к AD также будет составлять 2:7.

Мы знаем, что площадь трапеции ABCD равна 90. Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) * h / 2, где a и b - длины оснований трапеции, а h - высота трапеции.

В нашем случае, a = AB = BC = 2x, b = CD = AD = 7x, и площадь равна 90, поэтому мы можем записать следующее уравнение:

90 = (2x + 7x) * h / 2

Упрощая это уравнение, получаем:

90 = 9x * h / 2

Умножаем обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления:

180 = 9x * h

Делим обе стороны на 9x, чтобы найти h:

h = 180 / (9x)

Теперь мы можем найти площадь треугольника АРD, используя формулу для площади треугольника: S = (основание * высота) / 2.

S = (AD * h) / 2

Подставляем значения для AD и h:

S = (7x * (180 / (9x))) / 2

Упрощая это выражение, получаем:

S = (7 * 180) / 18

S = 70

Таким образом, площадь треугольника АРD равна 70.