Question

Для функции f(x)=sin2x*cos2x вычислить значение производной при х=п/8

Answer 1

F(x)=sin2xcos2x=1/2*sin4x
f`(x)=1/2*cos4x *4=2cos4x
f(π/8)=2cosπ/2)=2*0=0

Answer 2

Для вычисления производной функции f(x) = sin^2(2x) * cos^2(2x) и нахождения значения производной при x = π/8, мы можем использовать правило производной произведения функций и правило производной синуса и косинуса.

Правило производной произведения функций гласит, что производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции. То есть, если у нас есть функции u(x) и v(x), их произведение обозначается как f(x) = u(x) * v(x), то производная f'(x) будет равна f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

Для начала, найдем производную функции sin^2(2x). Применим правило производной произведения функций, где u(x) = sin(2x) и v(x) = sin(2x). Обозначим производную sin(2x) как (sin(2x))'. Производная sin(2x) равна 2 * cos(2x) (по правилу производной синуса).

Теперь найдем производную функции cos^2(2x). В этом случае u(x) = cos(2x) и v(x) = cos(2x). Обозначим производную cos(2x) как (cos(2x))'. Производная cos(2x) равна -2 * sin(2x) (по правилу производной косинуса).

Теперь, используя полученные производные, мы можем вычислить производную функции f(x) = sin^2(2x) * cos^2(2x). Применяя правило производной произведения функций, получим:

f'(x) = (sin^2(2x))' * cos^2(2x) + sin^2(2x) * (cos^2(2x))' = (2 * cos(2x)) * cos^2(2x) + sin^2(2x) * (-2 * sin(2x)) = 2 * cos(2x) * cos^2(2x) - 2 * sin^3(2x)

Теперь, чтобы найти значение производной при x = π/8, мы можем подставить x = π/8 в полученную производную f'(x) и вычислить результат:

f'(π/8) = 2 * cos(2 * π/8) * cos^2(2 * π/8) - 2 * sin^3(2 * π/8)

Для более точных вычислений, мы можем использовать численные значения для cos(π/8) и sin(π/8). Значения cos(π/8) ≈ 0.924 и sin(π/8) ≈ 0.383. Подставляя эти значения в выражение, получим:

f'(π/8) ≈ 2 * 0.924 * (0.924)^2 - 2 * (0.383)^3

Теперь остается только выполнить вычисления:

f'(π/8) ≈ 2 * 0.924 * 0.853 - 2 * 0.055

f'(π/8) ≈ 1.585 - 0.110

f'(π/8) ≈ 1.475

Таким образом, значение производной функции f(x) = sin^2(2x) * cos^2(2x) при x = π/8 примерно равно 1.475.