Question

Как доказать ,что если произведение трех чисел равно1,а их сума больше суммы их обратных величин, то только одно из этих чисел больше 1.

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Доказательство: Произведение трех чисел равно 1, а их сумма больше суммы их обратных величин

Для начала, давайте обозначим три числа как a, b и c, так что их произведение равно 1:

\[abc = 1\]

Также, нам известно, что сумма этих чисел больше суммы их обратных величин:

\[a + b + c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\]

Теперь предположим, что все три числа меньше или равны 1. В этом случае их обратные величины будут больше или равны 1.

Теперь давайте рассмотрим сумму обратных величин:

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\]

Таким образом, сумма обратных величин будет больше или равна 3.

С учетом этого, нам известно, что:

\[a + b + c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\]

Таким образом, мы приходим к противоречию, так как сумма трех чисел не может быть одновременно равна 3 и больше, чем сумма их обратных величин.

Следовательно, наше предположение о том, что все три числа меньше или равны 1, неверно.

Таким образом, мы можем заключить, что только одно из этих трех чисел может быть больше 1.