Question

Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f(x)= e^x, вычислить значение e^a c точностью до 0,001. а =0.33

Answer 1

Из формулы для остаточного члена нужно оценить количество членов ряда Тейлора для заданной допустимой погрешности. Формула Тейлора для функции y=y(x) известна: y = Сумма_по_k_от_0_до_бесконечности (y(k)(x0)*(x-x0)^k / k!) Для функции y = e^x вблизи x0 = 0: y = 1 + Сумма_по_k_от_1_до_бесконечности (x^k / k!) Остаточный член в форме Лагранжа для данной задачи: R_k+1 (x) = ( x^(k+1) / (k+1)! )*e^(t*x), 0 < t < 1. Для e^(t*x) при x = 0.31 можно принять заведомо завышенную оценку, например e^(t*x) < 2.

Answer 2

Формула Тейлора для функции f(x) в окрестности точки a выглядит следующим образом:

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ... + f^n(a)(x - a)^n/n! + Rn(x)

где f'(a), f''(a), ..., f^n(a) - производные функции f(x) в точке a, Rn(x) - остаточный член в форме Лагранжа.

Для функции f(x) = e^x производные равны:

f'(x) = e^x f''(x) = e^x f'''(x) = e^x ...

Таким образом, все производные функции f(x) равны e^x в любой точке.

Подставим значения производных в формулу Тейлора:

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ... + f^n(a)(x - a)^n/n! + Rn(x) = e^a + e^a(x - a) + e^a(x - a)^2/2! + e^a(x - a)^3/3! + ... + e^a(x - a)^n/n! + Rn(x)

Для заданного значения a = 0.33, мы можем остановиться на некотором n и рассчитать приближенное значение e^a с требуемой точностью.

Для вычисления значения e^a с точностью до 0.001, мы можем использовать остаточный член Rn(x) и остановиться на таком n, чтобы |Rn(x)| < 0.001.

Остаточный член в форме Лагранжа выглядит следующим образом:

Rn(x) = f^(n+1)(ξ)(x - a)^(n+1)/(n+1)!

где ξ - точка между x и a.

Для нашей функции f(x) = e^x, производные равны e^x, поэтому:

Rn(x) = e^ξ(x - a)^(n+1)/(n+1)!

Мы можем оценить остаточный член, взяв максимальное значение производной в интервале (a, x), то есть e^x.

Теперь нам нужно найти такое n, чтобы |Rn(x)| < 0.001:

|e^x(x - a)^(n+1)/(n+1)!| < 0.001

Мы можем оценить это выражение, взяв максимальное значение производной в интервале (a, x), то есть e^x:

|e^x(x - a)^(n+1)/(n+1)!| < |e^x(x - a)^(n+1)/(n+1)!| < e^x(x - a)^(n+1)/(n+1)! < 0.001

Теперь мы можем решить это неравенство относительно n:

e^x(x - a)^(n+1)/(n+1)! < 0.001

Подставим значение a = 0.33:

e^0.33(x - 0.33)^(n+1)/(n+1)! < 0.001

Используя метод проб и ошибок или численные методы, мы можем найти такое наименьшее n, при котором это неравенство выполняется.

Зная значение n, мы можем подставить его в формулу Тейлора и вычислить значение e^a с требуемой точностью.