Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x^2-4x на отрезке [-4, -1]

Answer 1

1) y(-4)= $(-4)^{2}-4*(-4)$= 16+16=32
y(-1)= (-1)²-4*(-1)= 1+4=5
2) y'=2x-4
2x-4=0
x=2 ∉  [-4, -1]
3)
y'(-4)=-8-4=-12 (наименьшее значение)
y'(-1)=-2-4=-6 (Наибольшее значение)

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( y = x^2 - 4x \) на отрезке \([-4, -1]\), мы можем воспользоваться методом нахождения экстремумов функции. Этот метод включает в себя вычисление производной функции, нахождение её корней и анализ знаков производной в интервалах.

Нахождение производной функции

Сначала найдем производную функции \( y = x^2 - 4x \). Для этого возьмем производную от каждого члена функции по отдельности: \[ y' = (x^2)' - (4x)' = 2x - 4 \]

Нахождение критических точек

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение \( 2x - 4 = 0 \): \[ 2x - 4 = 0 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \]

Анализ знаков производной

Теперь проведем анализ знаков производной в интервалах, ограниченных критическими точками \( x = -4 \) и \( x = -1 \). Для этого выберем тестовую точку в каждом интервале и подставим её в производную функции \( y' = 2x - 4 \): 1. При \( x = -4 \) (выберем \( x = -5 \)): \[ y'(-5) = 2(-5) - 4 = -14 \] (знак минус) 2. При \( x = -1 \) (выберем \( x = -2 \)): \[ y'(-2) = 2(-2) - 4 = -8 \] (знак минус) 3. При \( x = 2 \) (выберем \( x = 1 \)): \[ y'(1) = 2(1) - 4 = -2 \] (знак минус)

Определение экстремумов

Из анализа знаков производной видно, что функция убывает на интервалах \([-4, 2]\) и \([2, -1]\), и возрастает на интервале \([-1, -4]\). Таким образом, функция имеет локальный максимум в точке \( x = 2 \) и локальный минимум в точке \( x = -1 \).

Нахождение значений функции

Теперь подставим найденные значения \( x \) в исходную функцию \( y = x^2 - 4x \), чтобы найти соответствующие значения \( y \): 1. Для \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 \] (наименьшее значение) 2. Для \( x = 2 \): \[ y(2) = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4 \] (наибольшее значение)

Ответ

Таким образом, наименьшее значение функции \( y = x^2 - 4x \) на отрезке \([-4, -1]\) равно 5, а наибольшее значение равно -4.