Question

Петя придумал два трёхзначных числа УРА и ЮМШ причём все цифры УРАЮМШ различны и не равны нулю. Посчитав произведение УРА•Ю•ММ•ШШШ он обнаружил что оно равно квадрату целого числа. Чему может равняться число ЮМШ если его цифры расположены в порядке возрастания ? Найдите все возможные варианты

Answer 1

УРА * Ю * 11 * М * 37 * 3 * Ш - квадрат числа

=> УРА делится на 11 и на 37

11*37 = 407 - не подходит, т.к. в числе не должно быть 0

407 * 2 = 814 - единственное трехзначное число, которое делится на 11 и 37 и не содержит 0

2 * Ю * М * Ш * 3 - квадрат числа

Ю М Ш равны могут быть только цифрам 2 3 и 9 или 4 6 и 9, чтобы произведение было квадратом(остальные цифры не будут давать пары, чтобы получить квадраты), в любом порядке, т.е.

Ответ: 239, 469

Answer 2

Пусть число УРА равно ABC, а число ЮМШ равно DEF, где A, B, C, D, E и F - цифры.

Так как все цифры УРАЮМШ различны и не равны нулю, то из этого следует, что все цифры ABCDEF - различные и не равные нулю.

Произведение УРА•Ю•ММ•ШШШ равно квадрату целого числа, то есть (ABC) • D • (E)² • (F)³ = N², где N - целое число.

Так как все цифры различны и не равны нулю, то D, E и F должны быть простыми числами, так как их квадраты и кубы не могут быть разложены на множители.

Также, так как произведение равно квадрату целого числа, то каждое простое число должно быть взято в степень, кратную двум и трем.

Рассмотрим возможные варианты для числа ЮМШ:

1) Если D = 2, то ЮМШ может быть равно 235, 253, 325, 352, 523 или 532. В этом случае E и F должны быть равны 3 и 5 в некотором порядке.

2) Если D = 3, то ЮМШ может быть равно 357, 375, 537, 573, 735 или 753. В этом случае E и F должны быть равны 5 и 7 в некотором порядке.

3) Если D = 5, то ЮМШ может быть равно 579, 597, 759, 795, 957 или 975. В этом случае E и F должны быть равны 7 и 9 в некотором порядке.

4) Если D = 7, то ЮМШ может быть равно 791, 719, 971, 917, 179 или 197. В этом случае E и F должны быть равны 9 и 1 в некотором порядке.

5) Если D = 11, то ЮМШ может быть равно 911, 191, 119, 991, 919 или 199. В этом случае E и F должны быть равны 1 и 9 в некотором порядке.

Таким образом, все возможные варианты для числа ЮМШ, если его цифры расположены в порядке возрастания, это:

235, 253, 325, 352, 523, 532, 357, 375, 537, 573, 735, 753, 579, 597, 759, 795, 957, 975, 791, 719, 971, 917, 179, 197, 911, 191, 119, 991, 919 и 199.