Question

Докажите, что среди чисел 3x – 2y – z, 3y – 2z – x, 3z – 2x – y найдется хотя бы одно неотрицательное.

Answer 1

Предположим что все эти числа отрицательные тогда сложим все эти числа и тогда получим 3(x+y+z)-2(у+z+x)-(z+x+y)=0 но тк все числа отрицательные то их сумма не может быть равна нулю мы пришли к противоречию значит хотя бы 1 число неотрицательное

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что все три выражения 3x – 2y – z, 3y – 2z – x, 3z – 2x – y являются отрицательными.

Тогда имеем следующие неравенства: 3x – 2y – z < 0 3y – 2z – x < 0 3z – 2x – y < 0

Сложим все три неравенства: (3x – 2y – z) + (3y – 2z – x) + (3z – 2x – y) < 0

Упростим: 3x – 2y – z + 3y – 2z – x + 3z – 2x – y < 0 x – y – z < 0

Заметим, что это неравенство эквивалентно выражению: x < y + z

Но так как все переменные являются вещественными числами, то сумма y + z всегда будет положительной (так как оба числа отрицательные). Таким образом, получаем, что x должно быть меньше положительного числа, что противоречит предположению о том, что все три выражения являются отрицательными.

Таким образом, мы пришли к противоречию и можем сделать вывод, что среди чисел 3x – 2y – z, 3y – 2z – x, 3z – 2x – y хотя бы одно неотрицательное.