Question

Вася знает длины сторон некоторого труегольника. он нашел площадь этого треугольника и заметил, что значения длин сторон и площадь этого тругольника - соответственно четыре последовательных целых числа. какие длины сторон у треугольника?

Answer 1

Есть такой знаменитый прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5. Его площадь 6.  Здесь 3 и 4 катеты, а 5 гипотенуза. Хотя, это, конечно, ответ, а не решение.

Answer 2

Пусть длины сторон треугольника обозначены как a, b и c (где a < b < c). Также пусть площадь треугольника обозначена как S.

Из условия задачи мы знаем, что a, b, c и S являются четырьмя последовательными целыми числами. Пусть a = n, b = n + 1, c = n + 2, где n - целое число.

Тогда площадь треугольника можно выразить через формулу Герона:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр треугольника, равный (a + b + c)/2.

Подставляя значения a, b и c в формулу площади, получаем:

S = sqrt((n + (n + 1) + (n + 2))/2 * ((n + (n + 1) + (n + 2))/2 - n) * ((n + (n + 1) + (n + 2))/2 - (n + 1)) * ((n + (n + 1) + (n + 2))/2 - (n + 2)))

Упрощая выражение, получаем:

S = sqrt((3n + 3)/2 * (n + 1)/2 * (n + 1)/2 * (n + 1)/2) S = sqrt((3n + 3)(n + 1)^3/16) S = sqrt((3n + 3)(n + 1)(n + 1)(n + 1))/4

Из условия задачи мы также знаем, что S является целым числом. Поэтому выражение под корнем должно быть полным квадратом целого числа.

Посмотрим на выражение (3n + 3)(n + 1)(n + 1)(n + 1). Заметим, что (n + 1)(n + 1)(n + 1) = (n + 1)^3 является полным кубом целого числа.

Таким образом, чтобы выражение (3n + 3)(n + 1)(n + 1)(n + 1) было полным квадратом целого числа, необходимо и достаточно, чтобы (3n + 3) было полным квадратом целого числа.

Возможные значения n, при которых (3n + 3) является полным квадратом целого числа, это n = 0 и n = 2.

Подставляя значения n = 0 и n = 2 в выражение для длин сторон треугольника, получаем два возможных набора длин сторон:

1) a = 0, b = 1, c = 2 2) a = 2, b = 3, c = 4

Таким образом, возможные длины сторон треугольника могут быть (0, 1, 2) или (2, 3, 4).