Question

Решите уравнение: 4sinx-4sqrt3cosx+sin2x-sqrt3cos2x=sqrt3 И найдите все корни промежутка [-пи;3пи/5]

Answer 1

$4sin x- 4\sqrt{3} cosx+2sinx*cosx- \sqrt{3}(2cos^2x-1)= \sqrt{3}$
$4sin x- 4\sqrt{3} cosx+2sinx*cosx- 2\sqrt{3}cos^2x+ \sqrt{3} = \sqrt{3}$
$4sin x- 4\sqrt{3} cosx+2sinx*cosx- 2\sqrt{3}cos^2x=0$
$2sinx(2+cos x)-2 \sqrt{3}cosx(2+cosx)=0$
$2(2+cosx)(sinx-\sqrt{3}cosx )=0$
cos x ∈ [-1; 1] , поэтому 2+cos x > 0 при любом x. Делим на 2(2+cos x).
sin x - √3*cos x = 0
sin x = √3*cos x
tg x = √3
x = pi/3 + pi*k

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Уравнение, которое нам нужно решить, выглядит следующим образом:

4sin(x) - 4√3cos(x) + sin(2x) - √3cos(2x) = √3

Для начала, давайте приведем все тригонометрические функции к синусам и косинусам. Мы знаем следующие тождества:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Подставим эти значения в уравнение:

4sin(x) - 4√3cos(x) + 2sin(x)cos(x) - (√3cos^2(x) - √3sin^2(x)) = √3

Распишем это уравнение:

(4sin(x) + 2sin(x)cos(x)) - (4√3cos(x) + √3cos^2(x)) + √3sin^2(x) = √3

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

(6sin(x) + 2sin(x)cos(x)) - (4√3cos(x) + √3cos^2(x)) + √3sin^2(x) = √3

Для удобства давайте перепишем это уравнение:

2sin(x)(3 + cos(x)) - √3(cos^2(x) + 4cos(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить. Давайте рассмотрим каждый множитель отдельно.

Решение уравнения 2sin(x)(3 + cos(x)) = 0

Для этого множителя у нас есть два возможных решения:

1. sin(x) = 0 Это возможно, когда x = 0, π, 2π, и так далее.

2. 3 + cos(x) = 0 Перепишем это уравнение в виде cos(x) = -3. Затем найдем обратный косинус от -3. Однако, обратный косинус (-3) не определен, так как косинус функция ограничена от -1 до 1. Таким образом, нет решений для этого уравнения.

Решение уравнения -√3(cos^2(x) + 4cos(x) - 1) = 0

Для этого множителя у нас есть два возможных решения:

1. cos^2(x) + 4cos(x) - 1 = 0 Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя квадратное уравнение. Решим его, используя дискриминант:

Дискриминант (D) = (4)^2 - 4 * 1 * (-1) = 16 Корень квадратный из дискриминанта (sqrt(D)) = 4

Теперь используем формулу квадратного уравнения:

cos(x) = (-b ± sqrt(D)) / (2a) cos(x) = (-4 ± 4) / (2 * 1) cos(x) = 0 или cos(x) = -2

Однако, косинус функция ограничена от -1 до 1, поэтому у нас нет решений для этого уравнения.

2. -√3 = 0 Это уравнение явно не имеет решений, так как -√3 не равно нулю.

Общий результат

Таким образом, у нас нет решений для данного уравнения в заданном промежутке [-π; 3π/5]. Уравнение не имеет корней в этом промежутке.