Question

Sinв 4степени умножить наcosв4степениравно1/64 найти острый угол

Answer 1

$\sin^4\x\cos^4x=\frac1{64}\\(\sin x\cos x)^4=\left(\frac1{\sqrt8}\right)^4\\\begin{cases}\sin x\cos x=\frac1{\sqrt8}\\\sin x\cos x=-\frac1{\sqrt8}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac12\sin2x=\frac1{2\sqrt2}\\\frac12\sin2x=-\frac1{2\sqrt2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\sin2x=\frac1{\sqrt2}\\\sin2x=-\frac1{\sqrt2}\end{cases}$
$\begin{cases}2x=(-1)^n\cdot\frac\pi4+\pi n\\2x=(-1)^n\cdot\frac{7\pi}4+\pi n\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=(-1)^n\cdot\frac\pi8+\frac\pi2 n\\x=(-1)^n\cdot\frac{7\pi}8+\frac\pi2 n\end{cases}\;n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Известно, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, где x - угол.

Также, есть формула двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Применим эти тождества к нашему уравнению:

(sin^4(x))(cos^4(x)) = 1/64

Воспользуемся тождеством sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

((1 - cos^2(x))^2)(cos^4(x)) = 1/64

Упростим выражение:

(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x))(cos^4(x)) = 1/64

Умножим оба множителя на 64, чтобы избавиться от дроби:

(64 - 128cos^2(x) + 64cos^4(x))(cos^4(x)) = 1

Выразим cos^4(x) через cos^2(x):

(64 - 128cos^2(x) + 64cos^4(x))(cos^4(x)) = 1

64cos^8(x) - 128cos^6(x) + 64cos^4(x) = 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

64cos^8(x) - 128cos^6(x) + 64cos^4(x) - 1 = 0

Теперь мы имеем уравнение вида a^8 - 2a^6 + a^4 - 1 = 0, где a = cos^2(x).

Решить данное уравнение в общем виде сложно, поэтому воспользуемся численным методом решения.

Подставим данное уравнение в любой численный метод, например, метод Ньютона, чтобы найти значения a (cos^2(x)), а затем найдем острый угол x, используя обратную функцию cos.

Итак, мы можем найти значения a (cos^2(x)), а затем найти острый угол x, используя обратную функцию cos.