Question

Найдите частную производную функции z=x^3+5x^2+4xy^2+y^3

Answer 1

найдите частные производные функции z=x^3+5x^2+4xy^2+y^3

z¹ₓ = 3x²+10x+4y²

z¹y = 8xy+3y²

Answer 2

Чтобы найти частные производные функции z = x^3 + 5x^2 + 4xy^2 + y^3, мы должны взять производные по каждой переменной по отдельности, считая все остальные переменные постоянными.

Производная по x

Для нахождения частной производной по x, мы будем считать y постоянным: dz/dx = (d/dx) (x^3 + 5x^2 + 4xy^2 + y^3)

Для каждого слагаемого в функции z, мы применим правило дифференцирования степенной функции и правило суммы: (d/dx) (x^3) = 3x^2 (d/dx) (5x^2) = 10x (d/dx) (4xy^2) = 4y^2 (d/dx) (y^3) = 0 (так как y не зависит от x)

Теперь сложим все слагаемые вместе: dz/dx = 3x^2 + 10x + 4y^2

Производная по y

Для нахождения частной производной по y, мы будем считать x постоянным: dz/dy = (d/dy) (x^3 + 5x^2 + 4xy^2 + y^3)

Для каждого слагаемого в функции z, мы применим правило дифференцирования степенной функции и правило суммы: (d/dy) (x^3) = 0 (так как x не зависит от y) (d/dy) (5x^2) = 0 (так как x не зависит от y) (d/dy) (4xy^2) = 8xy (d/dy) (y^3) = 3y^2

Теперь сложим все слагаемые вместе: dz/dy = 8xy + 3y^2

Полный ответ

Таким образом, частные производные функции z = x^3 + 5x^2 + 4xy^2 + y^3 выглядят следующим образом: dz/dx = 3x^2 + 10x + 4y^2 dz/dy = 8xy + 3y^2

Эти производные позволяют нам определить, как изменяется функция z в зависимости от изменений переменных x и y.