Question

Вычисление неопределенного интеграла методом подстановки и интегрирование по частям: ∫(3x^3-1/x+3x^3) dx

Answer 1

Решение прикрепила:)

Answer 2

Метод подстановки для вычисления неопределенного интеграла

Для вычисления данного неопределенного интеграла ∫(3x^3 - 1)/(x + 3x^3) dx, мы можем использовать метод подстановки или замены переменной. Этот метод позволяет свести интегрирование сложных функций к интегрированию более простых функций.

# Шаг 1: Выбор подстановки

Для начала выберем подстановку, которая позволит упростить интеграл. Обычно мы выбираем подстановку, которая приводит к простым алгебраическим выражениям или элементарным функциям. В данном случае, мы можем выбрать подстановку u = x + 3x^3.

# Шаг 2: Вычисление производной и подстановка

Вычислим производную от выбранной подстановки u = x + 3x^3:

du/dx = 1 + 9x^2.

Теперь, подставим полученное выражение для du/dx в исходный интеграл и заменим переменные:

∫(3x^3 - 1)/(x + 3x^3) dx = ∫(3x^3 - 1)/(u) * (1 + 9x^2) du.

# Шаг 3: Упрощение и интегрирование

Теперь, упростим полученный интеграл:

∫(3x^3 - 1)/(u) * (1 + 9x^2) du = ∫(3x^3 - 1)(1 + 9x^2)/u du.

Чтобы продолжить интегрирование, мы можем разложить числитель на два слагаемых:

∫(3x^3 - 1)(1 + 9x^2)/u du = ∫(3x^3 + 9x^5 - 1 - 9x^2)/u du.

Теперь, разделим интеграл на два отдельных интеграла:

∫(3x^3 + 9x^5 - 1 - 9x^2)/u du = ∫(3x^3/u) du + ∫(9x^5/u) du - ∫(1/u) du - ∫(9x^2/u) du.

# Шаг 4: Интегрирование

Теперь, проинтегрируем каждый из полученных интегралов:

- ∫(3x^3/u) du = 3∫(x^3/u) du = 3∫(x^3/u) * (du/dx) dx = 3∫(x^3/u) * (1 + 9x^2) dx.

- ∫(9x^5/u) du = 9∫(x^5/u) du = 9∫(x^5/u) * (du/dx) dx = 9∫(x^5/u) * (1 + 9x^2) dx.

- ∫(1/u) du = ln|u|.

- ∫(9x^2/u) du = 9∫(x^2/u) du = 9∫(x^2/u) * (du/dx) dx = 9∫(x^2/u) * (1 + 9x^2) dx.

# Шаг 5: Замена обратная подстановке

Теперь, заменим выражения для u и dx с помощью обратной подстановки:

- u = x + 3x^3, - du = (1 + 9x^2) dx.

# Шаг 6: Окончательное выражение интеграла

Подставляя значения обратной подстановки в полученные интегралы, получим окончательное выражение неопределенного интеграла:

∫(3x^3 - 1)/(x + 3x^3) dx = 3∫(x^3/u) * du + 9∫(x^5/u) * du - ln|u| - 9∫(x^2/u) * du.

# Шаг 7: Вычисление окончательного интеграла

Теперь, проинтегрируем каждый из полученных интегралов:

- 3∫(x^3/u) * du = 3∫(x^3/(x + 3x^3)) dx, - 9∫(x^5/u) * du = 9∫(x^5/(x + 3x^3)) dx, - -∫(1/u) * du = -ln|x + 3x^3|, - -9∫(x^2/u) * du = -9∫(x^2/(x + 3x^3)) dx.

Теперь, вычислим каждый из этих интегралов отдельно.