Question

Интеграл (1-sin^3 x)/sin^2 x

Answer 1

∫(1-sin³x)/sin²x dx=∫dx/sin²x - ∫sin³x/sin²x dx=-ctgx-∫sinx dx=
=-ctgx-cosx + c
sinx≠0, x≠kπ,k∈Z

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Давайте посмотрим, как это можно сделать.

Замена переменной

Мы можем воспользоваться заменой \( u = \sin(x) \). Тогда дифференциал переменной \( u \) будет \( du = \cos(x) dx \). Мы также можем воспользоваться тождеством \( 1 - \sin^2(x) = \cos^2(x) \) для замены выражения \( 1 - \sin^3(x) \).

Замена выражений

Используя замену переменной \( u = \sin(x) \), мы можем заменить выражения в интеграле следующим образом: \[ 1 - \sin^3(x) = 1 - u^3 \] \[ \sin^2(x) = u^2 \]

Теперь мы можем выразить интеграл через переменную \( u \): \[ \int \frac{1 - \sin^3(x)}{\sin^2(x)} dx = \int \frac{1 - u^3}{u^2} \cos(x) dx = \int \frac{1 - u^3}{u^2} du \]

Решение интеграла

Теперь у нас есть интеграл от функции \( \frac{1 - u^3}{u^2} \) относительно переменной \( u \). Мы можем разложить эту функцию на части, чтобы легче проинтегрировать её.

\[ \frac{1 - u^3}{u^2} = \frac{1}{u^2} - u \]

Теперь мы можем проинтегрировать каждую из этих частей по отдельности: \[ \int \frac{1}{u^2} du - \int u du \]

Интегрирование

Интегралы отдельных частей: \[ \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} \] \[ \int u du = \frac{u^2}{2} \]

Итоговый ответ

Теперь мы можем подставить обратно \( u = \sin(x) \) и получить окончательный ответ: \[ -\frac{1}{u} - \frac{u^2}{2} = -\frac{1}{\sin(x)} - \frac{\sin^2(x)}{2} + C \] где \( C \) - произвольная постоянная.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл \( \int \frac{1 - \sin^3(x)}{\sin^2(x)} dx \) равен: \[ -\frac{1}{\sin(x)} - \frac{\sin^2(x)}{2} + C \]

Таким образом, мы получили подробное решение данного интеграла с использованием метода замены переменной.