Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=8-2x^2,y=0

Answer 1

Площадь находится решением определенного интеграла.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя заданными линиями, мы можем использовать интеграл. В данном случае, фигура ограничена линиями y = 8 - 2x^2 и y = 0. Чтобы найти площадь, нам нужно найти интеграл от y = 8 - 2x^2 до y = 0 по оси x.

Нахождение границ интегрирования

Для начала, найдем точки пересечения двух линий, чтобы определить границы нашего интегрирования. Поставим y = 8 - 2x^2 равным нулю и решим уравнение относительно x:

8 - 2x^2 = 0

2x^2 = 8

x^2 = 4

x = ±2

Таким образом, границы нашего интегрирования будут x = -2 и x = 2.

Подготовка к интегрированию

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы должны взять интеграл от y = 8 - 2x^2 до y = 0 по оси x. Однако, перед интегрированием, нам нужно убедиться, что мы интегрируем по правильному интервалу и что функция, которую мы интегрируем, положительна на этом интервале.

Наши границы интегрирования -2 и 2 на оси x. Поскольку 2 > -2, мы интегрируем от -2 до 2.

Функция y = 8 - 2x^2 является параболой, с коэффициентом при x^2 равным -2. Поскольку коэффициент отрицательный, парабола будет открыта вниз, и функция будет положительна на интервале [-2, 2].

Вычисление площади

Теперь мы можем вычислить площадь, используя интеграл:

S = ∫[from -2 to 2] (8 - 2x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

S = 8x - (2/3)x^3

Вычислив эту антипроизводную на интервале [-2, 2], мы получим значение площади фигуры.

S = (8(2) - (2/3)(2)^3) - (8(-2) - (2/3)(-2)^3)

S = (16 - (2/3)(8)) - (-16 - (2/3)(-8))

S = (16 - 16/3) - (-16 + 16/3)

S = (48/3 - 16/3) - (-48/3 + 16/3)

S = 32/3 + 32/3

S = 64/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 8 - 2x^2 и y = 0, равна 64/3 или приблизительно 21.333.