Question

Найдите производную y', заданной неявно.

Answer 1

$arctg\frac{x}{y} =x^2\\\\ \frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2}\cdot \frac{x'y-xy'}{y^2} =2x\\\\ \frac{y^2}{y^2+x^2}\cdot \frac{y-xy'}{y^2+x^2}=2x\\\\ \frac{y-xy'}{y^2+x^2}=2x$

$y-xy'=2x(y^2+x^2)\\\\xy'=y-2x(y^2+x^2)\\\\y'=\frac{y}{x}-2(y^2+x^2)$

Answer 2

Для того чтобы найти производную y' заданной функции неявно, мы должны использовать правило неявного дифференцирования.

Предположим, что у нас есть уравнение, которое задает функцию неявно, например, F(x, y) = 0. Наша задача - найти производную y'.

Для этого мы сначала дифференцируем оба выражения по x:

d(F(x, y))/dx = d(0)/dx

Затем, используя правило цепочки, мы получаем:

∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0

Теперь мы можем выразить dy/dx, чтобы найти производную y':

dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)

Это и есть искомая производная y'.