Question

Исследовать функцию и построить график: y= x^2+1/x^2

Answer 1

ФАЙЛ

-------------------------------

Answer 2

y = (x^2 + 1)/x.
делим почленно на x, чтобы было проще считать:
y = x + 1/x.
производная:
y' = 1 - 1/(x^2);
ищем экстремумы:
y' = 0, =>
1 - 1/(x^2) = 0,
x^2 = 1,
x = + - 1 - экстремумы, т.к. производная представима в виде
y' = (x^2 -1)/x^2 = (x - 1)(x + 1)/x^2 - метод интервалов (да и просто здравый смысл) к примеру для правой координатной полуплоскости дает, что производная отрицательная при 0 < x < 1 и положительная при x > 1. это означает. что до точки x = 1 функция убывает, а после нее - возрастает. значит, точка x = 1 - это минимум. для левой координатной полуплоскости график симметричен относительно начала координат, так как функция y(x) - нечетная.
[краткое доказательство нечетности: y(-x) = (-x) + 1/(-x) = -(x + 1/x) = -y(x)]
асимптоты:
1) y(x) --> бесконечность при x --> 0
поэтому первая асимптота - это ось OY
2) y(x) --> x при x --> бесконечность, так как 1/x становится пренебрежимо мало.
вторая асимптота - y=x

Answer 3

Для начала исследуем функцию y = x^2 + 1/x^2.

1. Область определения функции: Функция определена для всех значений x, кроме x=0, так как в знаменателе присутствует деление на x^2.

2. Нули функции: Для нахождения нулей функции приравняем выражение к нулю: x^2 + 1/x^2 = 0 Перенесем все слагаемые влево: x^4 + 1 = 0 Так как x^4 всегда неотрицательно, то это уравнение не имеет действительных корней.

3. Четность функции: Проверим четность функции, заменив x на -x: (-x)^2 + 1/(-x)^2 = x^2 + 1/x^2 Таким образом, функция является четной.

4. Асимптоты: а) Горизонтальная асимптота: Проверим наличие горизонтальной асимптоты, найдя предел функции при x, стремящемся к бесконечности: lim(x->∞) (x^2 + 1/x^2) = ∞ Таким образом, график функции не имеет горизонтальных асимптот.

б) Вертикальная асимптота: Проверим наличие вертикальной асимптоты, найдя предел функции при x, стремящемся к 0: lim(x->0) (x^2 + 1/x^2) = ∞ Таким образом, график функции не имеет вертикальных асимптот.

5. Точки перегиба: Найдем точки перегиба, равные нулю второй производной функции: f''(x) = 2 - 6/x^4 2 - 6/x^4 = 0 6/x^4 = 2 x^4 = 3 x = ±√3 Таким образом, точки перегиба функции находятся при x = √3 и x = -√3.

6. Построение графика: Для построения графика функции y = x^2 + 1/x^2 можно использовать программы для построения графиков, такие как Excel, Desmos или Python с библиотекой Matplotlib. Ниже приведен график функции y = x^2 + 1/x^2.

[Вставить график]

Answer 4

Функция и график: y = x^2 + 1/x^2

Данная функция представлена уравнением y = x^2 + 1/x^2. Давайте исследуем эту функцию и построим ее график.

Исследование функции:

Для начала, давайте проанализируем основные характеристики функции.

1. Область определения: Функция y = x^2 + 1/x^2 определена для всех значений x, кроме x = 0, так как в этом случае будет деление на ноль.

2. Четность функции: Функция y = x^2 + 1/x^2 является четной функцией, так как она симметрична относительно оси ординат. Это можно заметить, если заменить x на -x в уравнении функции и увидеть, что получится то же самое выражение.

3. Асимптоты: Для определения асимптот функции y = x^2 + 1/x^2, найдем пределы функции при стремлении x к бесконечности и минус бесконечности. - Предел функции при x -> ∞: lim(x->∞) (x^2 + 1/x^2) = ∞ Это означает, что у функции есть горизонтальная асимптота y = ∞ при x -> ∞. - Предел функции при x -> -∞: lim(x->-∞) (x^2 + 1/x^2) = ∞ Также у функции есть горизонтальная асимптота y = ∞ при x -> -∞.

4. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения функции с осями координат, приравняем y к нулю и решим уравнение. - При y = 0: x^2 + 1/x^2 = 0 Уравнение не имеет решений, так как сумма квадратов не может быть равна нулю.

Построение графика:

Теперь, когда мы проанализировали функцию, давайте построим ее график.


На графике видно, что функция y = x^2 + 1/x^2 является параболой, которая открывается вверх и имеет вершину в точке (0, 2). Также видно, что функция не пересекает ось ординат и не имеет точек перегиба.

Заключение:

Исследовали функцию y = x^2 + 1/x^2 и построили ее график. Функция является четной и имеет горизонтальные асимптоты y = ∞ при x -> ∞ и y = ∞ при x -> -∞. График функции представляет собой параболу, открывающуюся вверх и имеющую вершину в точке (0, 2).