Question

В усеченном конусе, радиусы оснований которого R и r,проведена плоскость под уголом a к основанию. Эта плоскость отсекает от окружности каждого основания дугу бета. Найдите высоту усеченного конуса.

Answer 1

Расстояние от секущих хорд до центров оснований равно:
h₁ = R*cos(β/2),
h₂ = r*cos(β/2).
Тогда высота конуса равна:
H = (h₁ - h₂)*tgα = (R - r)*cos(β/2)*tgα.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрией и теорией усеченных конусов.

По условию задачи, у нас есть усеченный конус, у которого радиусы оснований обозначены как R и r. Плоскость проведена под углом a к основанию конуса. Эта плоскость отсекает от окружности каждого основания дугу бета.

Значения и обозначения:

- R: радиус большего основания конуса - r: радиус меньшего основания конуса - a: угол между плоскостью и основанием конуса - beta: угол, на который плоскость отсекает дугу на окружности каждого основания - h: высота усеченного конуса

Решение:

1. Построим сечение конуса плоскостью, проведенной под углом a к основанию. Это сечение будет окружностью с радиусом r. Пусть O1 - центр этой окружности. 2. Также построим сечение конуса плоскостью, параллельной основанию и перпендикулярной первой плоскости. Это сечение будет окружностью с радиусом R. Пусть O2 - центр этой окружности. 3. Проведем прямую линию между центрами окружностей O1 и O2. Обозначим эту линию как l. 4. Обозначим точку пересечения прямой l с плоскостью, проведенной под углом a к основанию, как A. Обозначим точку пересечения прямой l с плоскостью, параллельной основанию, как B. 5. Поскольку точка B лежит на плоскости, параллельной основанию, то она также является центром меньшего основания конуса, а радиус этого основания равен r. 6. Поскольку точка A лежит на плоскости, проведенной под углом a к основанию, она также является центром большего основания конуса, а радиус этого основания равен R. 7. Таким образом, мы получили два подобных треугольника O1AB и O2AB. У этих треугольников пропорциональные стороны, так как углы при основаниях равны. 8. У треугольника O1AB сторона AB равна r, а сторона AO1 равна h (высоте усеченного конуса). 9. У треугольника O2AB сторона AB равна R, а сторона AO2 равна H (высоте полного конуса). 10. Используя пропорциональность сторон треугольников, можно записать следующее соотношение: h/R = r/(R-r). 11. Решим данное соотношение относительно h: h = R*r/(R-r).

Ответ:

Таким образом, высота усеченного конуса равна h = R*r/(R-r).