Question

Вычислить определенный интеграл : пи деленное на 4 верхний предел интегрирования, 0 нижний предел интегрирования. 4cos x dx

Answer 1

1)4 целых 3
                77

  2)7 цлых 21
                  36
   3)12 целых 44
                       60


        

Answer 2

Для вычисления данного определенного интеграла, нам необходимо использовать интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям имеет следующий вид:

∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ (u' * ∫ v dx) dx

где u и v - это функции, а u' и v' - их производные по переменной x.

В данном случае, мы выберем u = 4cos(x) и dv = dx. Таким образом, мы получим:

du = -4sin(x) dx v = x

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫ 4cos(x) dx = 4cos(x) * x - ∫ (-4sin(x) * x) dx

Теперь нам нужно вычислить второй интеграл. Для этого мы снова можем использовать интегрирование по частям. Выбираем u = -4sin(x) и dv = x.

Тогда получим:

du = -4cos(x) dx v = 0.5x^2

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫ (-4sin(x) * x) dx = -4sin(x) * 0.5x^2 - ∫ (-4cos(x) * 0.5x^2) dx

Упрощая выражение и применяя интегрирование по частям снова для оставшегося интеграла, мы получим:

∫ (-4sin(x) * x) dx = -2x^2 * sin(x) + 2∫ x^2 * cos(x) dx

Теперь нам нужно вычислить последний интеграл. Для этого мы можем снова использовать интегрирование по частям. Выбираем u = x^2 и dv = cos(x).

Тогда получим:

du = 2x dx v = sin(x)

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫ x^2 * cos(x) dx = x^2 * sin(x) - ∫ 2x * sin(x) dx

Упрощая выражение и применяя интегрирование по частям снова для оставшегося интеграла, мы получим:

∫ x^2 * cos(x) dx = x^2 * sin(x) - 2(∫ x * sin(x) dx - ∫ sin(x) dx)

Теперь у нас осталось только вычислить два оставшихся интеграла ∫ x * sin(x) dx и ∫ sin(x) dx.

Первый интеграл, ∫ x * sin(x) dx, может быть вычислен методом интегрирования по частям. Выбираем u = x и dv = sin(x).

Тогда получим:

du = dx v = -cos(x)

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫ x * sin(x) dx = -x * cos(x) + ∫ cos(x) dx

Вычислив последний интеграл, получим:

∫ x * sin(x) dx = -x * cos(x) + sin(x) + C1

где C1 - это постоянная интегрирования.

Второй интеграл, ∫ sin(x) dx, просто равен -cos(x) + C2, где C2 - это другая постоянная интегрирования.

Собирая все вместе, получим:

∫ 4cos(x) dx = 4cos(x) * x - (-2x^2 * sin(x) + 2(-x * cos(x) + sin(x)) - (-cos(x))) + C

где C = C1 + C2 - это итоговая постоянная интегрирования.

Таким образом, вычислив определенный интеграл с верхним пределом интегрирования π/4 и нижним пределом интегрирования 0, мы получим:

∫[0,π/4] 4cos(x) dx = (4cos(π/4) * π/4 - (-2(π/4)^2 * sin(π/4) + 2(-π/4 * cos(π/4) + sin(π/4)) - (-cos(π/4)))) + C

Вычислив численные значения для каждого члена этого выражения, мы сможем получить окончательный ответ.