Question

Как определить, могут ли три вектора образовывать базис, если они заданы своими координатами в ортонормированном базисе?

Answer 1

Три вектора образуют базис трёхмерного пространства, если они линейно независимы (не компланарны), значит определитель , составленный из координат этих векторов НЕ равен нулю.

Answer 2

Для определения, могут ли три вектора образовывать базис, необходимо проверить, являются ли эти вектора линейно независимыми и полными.

1. Линейная независимость: Для этого нужно составить линейную комбинацию векторов и приравнять ее к нулевому вектору: a1 * v1 + a2 * v2 + a3 * v3 = 0 где a1, a2, a3 - коэффициенты линейной комбинации, равные нулю только в случае, если все координаты вектора равны нулю. Если такое равенство выполняется только при a1 = a2 = a3 = 0, то векторы являются линейно независимыми.

2. Полнота: Для этого нужно проверить, что каждый вектор из данного набора можно выразить через линейную комбинацию остальных векторов. Если каждый вектор можно выразить через линейную комбинацию остальных векторов, то эти векторы образуют базис.

Если оба условия выполняются, то три вектора могут образовывать базис в ортонормированном базисе.