Question

В параллелепипеде abcda1b1c1d1 проведен отрезок, соединяющий вершину А с серединой ребра СС1. В каком отношении этот отрезок делится плоскостью ВДА?

Answer 1

Пусть сторона  параллелепипеда равна "a", тогда проведем диагональ AC
Теперь найдем её при помощи теорема Пифагора.
a корней из 2.
Теперь найдем AH(так же по теореме Пифагора):корень из (1a^2)/4 +2a^2
Откуда AH=корень из 9a^2/4 = 3a/2

Следовательно: нас интересует половина отрезка, для нахождения отношения. 3a/2 :0.5a корней из 2. получаем, что как 3 к 1.
Прилагаю рисунок, чтобы можно было лучше понять задачу.

Answer 2

Отрезок, соединяющий вершину А с серединой ребра СС1, делит плоскость ВДА в отношении 1:1.

Для доказательства этого факта, рассмотрим параллелепипед abcda1b1c1d1:

Вершины параллелепипеда: A, B, C, D, A1, B1, C1, D1.

Ребра параллелепипеда: AB, BC, CD, DA, A1B1, B1C1, C1D1, D1A1, AA1, BB1, CC1, DD1.

Плоскости параллелепипеда: ABCD, A1B1C1D1, ABAA1, BCB1C1, CDC1D1, DAD1A1.

Отрезок, соединяющий вершину А с серединой ребра СС1, мы обозначим как M.

Пусть точка M делит отрезок CC1 в отношении k:1, где k - коэффициент пропорциональности.

Тогда можно записать следующие равенства:

AM/MD = AC/CD1 (по теореме Фалеса для треугольников АМС и МСD1) CM/MD = CC1/CD1 (по теореме Фалеса для треугольников СМС1 и МСD1)

Поскольку AM = CM (так как M - середина ребра CC1), то:

AM/MD = CM/MD

Отсюда следует:

AC/CD1 = CC1/CD1

После сокращения общего делителя CD1, получаем:

AC = CC1

Таким образом, отрезок, соединяющий вершину А с серединой ребра СС1, делит плоскость ВДА в отношении 1:1.