Question

Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: (1+y)dx=(1-x)dy; y=3 при x=-2

Answer 1

$(1+y)dx=(1-x)dy \\ \frac{dy}{1+y} = \frac{dx}{1-x} \\ \frac{dy}{1+y} = -\frac{dx}{x-1} \\ \int\limits\frac{d(y+1)}{1+y} = - \int\limits\frac{d(x-1)}{x-1} \\ lny=-lnx+lnC \\ y= \frac{C}{x} \\ y(-2)= \frac{C}{-2}=3 \\ C=-6 \\ y=-\frac{6}{x}$

Answer 2

Данное уравнение называется уравнением Бернулли. Чтобы найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, мы можем использовать метод вариации постоянной.

Для начала, давайте перепишем уравнение в следующем виде:

(1+y)dx - (1-x)dy = 0.

Теперь представим y как сумму двух функций: y = u(x) + v(x). Подставим это представление в уравнение и проведем необходимые вычисления.

(1+u+v)dx - (1-x)(du+dv) = 0.

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

dx + udx + vdx - xdu + xdv = 0.

Теперь давайте разделим уравнение на dx и проведем несколько преобразований:

(1 + u + v) + (v - u)dx - xdu = 0.

Так как dx - независимая переменная, то каждое слагаемое должно равняться нулю:

1 + u + v = 0, (1) v - u = 0, (2) -xdu = 0. (3)

Из уравнения (2) получаем, что v = u.

Подставим это в уравнение (1):

1 + 2u = 0.

Отсюда находим значение u:

u = -1/2.

Теперь найдем значение v, используя уравнение (2):

v = u = -1/2.

Таким образом, мы нашли функции u(x) и v(x):

u(x) = -1/2, v(x) = -1/2.

Теперь найдем y(x) из начального условия y = 3 при x = -2:

y = u(x) + v(x) = -1/2 - 1/2 = -1.

Таким образом, частное решение уравнения (1+y)dx = (1-x)dy, удовлетворяющее начальным условиям y = 3 при x = -2, равно y = -1.