Question

А) cos 2x -√3 sin (П/2 -х) +1=0б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку[ -4П; 5П/2]

Answer 1

$\cos (2x) - \sqrt{3}\sin\Big(\dfrac{\pi}2-x\Big)+1=0\\\\\cos (2x) - \sqrt{3}\cos x+1=0\\\\2cos^2x -1 - \sqrt{3}\cos x+1=0\\\\2cos^2x - \sqrt{3}\cos x=0\\\\ \cos x(2\cos x-\sqrt{3})=0\\\\1)~~\cos x=0;~~~x_1=\dfrac{\pi}2+\pi n,~~n \in Z\\\\2)~~2\cos x-\sqrt{3}=0; ~~\cos x = \dfrac{\sqrt3}2\\\\~~~~~x_2=\dfrac{\pi}6+2\pi k, ~~x_3=-\dfrac{\pi}6+2\pi m,~~k,m \in Z$

Выбор корней на интервале  [-4π; 5π/2] в приложении

[-4π; 5π/2]    ⇔    [-4π; 2,5π]

$x_1=\dfrac{\pi}2+\pi n,~~n \in \{-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2\}\\\\ \boxed{\boldsymbol{-3,5\pi;~-2,5\pi;~-1,5\pi;~-0,5\pi;~0,5\pi;~1,5\pi;~2,5\pi}} \\\\\\x_2=\dfrac{\pi}6+2\pi k, ~~k \in \{-2; -1; 0; 1\}\\\\ \boxed{\boldsymbol{\Big(-3\dfrac56\Big)\pi;~\Big(-1\dfrac56\Big)\pi;~\Big(\dfrac16\Big)\pi;~\Big(2\dfrac16\Big)\pi}} \\\\\\x_3=-\dfrac{\pi}6+2\pi m, ~~m \in \{-1; 0; 1\}\\\\ \boxed{\boldsymbol{\Big(-2\dfrac16\Big)\pi;~\Big(-\dfrac16\Big)\pi;~\Big(1\dfrac56\Big)\pi}}$

Answer 2

Для начала решим уравнение cos(2x) - √3sin(π/2 - x) + 1 = 0.

Решение:

Мы можем использовать тригонометрические тождества для переписывания данного уравнения в другой форме. Давайте начнем с того, что разложим sin(π/2 - x) по формуле для разности углов: sin(π/2 - x) = sin(π/2)cos(x) - cos(π/2)sin(x) = cos(x).

Теперь у нас есть: cos(2x) - √3cos(x) + 1 = 0.

Давайте заменим cos(x) = u, тогда уравнение примет вид: cos(2x) - √3u + 1 = 0.

Теперь мы можем использовать формулу двойного угла для cos(2x): cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.

Подставляя это обратно в уравнение, получаем: 2u^2 - 1 - √3u + 1 = 0, 2u^2 - √3u = 0, u(2u - √3) = 0.

Отсюда получаем два возможных значения u: 1) u = 0, 2) 2u - √3 = 0, что ведет к u = √3/2.

Теперь заменим обратно u на cos(x): 1) cos(x) = 0, 2) cos(x) = √3/2.

Таким образом, у нас есть два уравнения: 1) cos(x) = 0, 2) cos(x) = √3/2.

Корни уравнения:

1) Решим первое уравнение: cos(x) = 0, x = π/2 + πn, где n - целое число.

2) Решим второе уравнение: cos(x) = √3/2, x = ±π/6 + 2πn, где n - целое число.

Теперь мы можем проверить, какие из этих корней принадлежат отрезку [±4π; 5π/2].