Question

Найти cos(a;2b) если а{2;-1;3} b=2i+j-k

Answer 1

$\boldsymbol{\vec a~(2;-1;3)};~~~~\vec b=2\vec i+\vec j-\vec k~~~\Rightarrow~~~\vec b~(2;1;-1)\\ \\ \vec {2b}~=(2\cdot 2;2\cdot 1; 2\cdot (-1))~~~\Rightarrow~~~\boldsymbol{\vec {2b}~(4;2;-2)}$

$|\vec a|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14} \\ \\ |\vec b|=\sqrt{4^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6} \\ \\ \\ \cos(\vec a;\vec {2b})=\dfrac{\vec a~\vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}=\dfrac {2\cdot4+(-1)\cdot 2+3\cdot (-2)}{\sqrt {14}\cdot 2\sqrt {6}}=\dfrac 0{4\sqrt {21}}\\ \\ \\ \boxed{\boldsymbol{\cos(\vec a;\vec {2b})=0}}$

Угол между векторами равен 90°, векторы ортогональны.

Answer 2

Для того чтобы найти значение выражения cos(a;2b), где a = {2, -1, 3} и b = 2i + j - k, мы должны сначала вычислить значение 2b, а затем использовать это значение внутри функции cos.

Вычисление 2b

Дано, что b = 2i + j - k. Умножим это выражение на 2, чтобы получить 2b: 2b = 2(2i + j - k) = 4i + 2j - 2k

Вычисление cos(a;2b)

Теперь мы можем вычислить cos(a;2b), где a = {2, -1, 3} и 2b = 4i + 2j - 2k. Для этого мы должны вычислить скалярное произведение между векторами a и 2b, а затем разделить его на произведение длин этих векторов:

cos(a;2b) = (a · 2b) / (||a|| * ||2b||)

Где a · 2b представляет скалярное произведение между векторами a и 2b, а ||a|| и ||2b|| представляют длины векторов a и 2b соответственно.

Вычисление скалярного произведения

Сначала вычислим скалярное произведение между векторами a и 2b:

a · 2b = (2 * 4) + (-1 * 2) + (3 * -2) = 8 - 2 - 6 = 0

Вычисление длин векторов

Теперь вычислим длины векторов a и 2b:

||a|| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 3^2) = sqrt(4 + 1 + 9) = sqrt(14)

||2b|| = sqrt((4)^2 + (2)^2 + (-2)^2) = sqrt(16 + 4 + 4) = sqrt(24)

Вычисление cos(a;2b)

Подставим значения скалярного произведения и длин векторов в формулу:

cos(a;2b) = (a · 2b) / (||a|| * ||2b||) = 0 / (sqrt(14) * sqrt(24)) = 0 / (sqrt(336)) ≈ 0

Таким образом, значение cos(a;2b) примерно равно 0.