Question

Доказать неравенствоа^8-a^5+a^2-a+1>0

Answer 1

А^8-a^5+a^2-a+1>0
а^8-a^5+a^2/4+3a^2/4-a+1>0
(а^4-a/2)^2+3/4(a^2-a*4/3+(2/3)^2)+1-3/4*(2/3)^2>0
(а^4-a/2)^2+3/4*(a-2/3)^2+1-1/3>0
(а^4-a/2)^2+5/4*(a-2/5)^2+2/3>0 - доказано

Answer 2

//////////////////////////////

Answer 3

Для доказательства неравенства a^8 - a^5 + a^2 - a + 1 > 0, можно использовать метод математической индукции.

Базовый случай: При a = 0, левая часть неравенства равна 1, что больше нуля. Таким образом, базовый случай выполняется.

Шаг индукции: Предположим, что неравенство выполняется для некоторого значения a = k, где k - некоторое натуральное число. То есть, a^8 - a^5 + a^2 - a + 1 > 0 при a = k.

Теперь докажем, что неравенство выполняется для a = k + 1. Подставим a = k + 1 в левую часть неравенства:

(k + 1)^8 - (k + 1)^5 + (k + 1)^2 - (k + 1) + 1

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

= (k^8 + 8k^7 + 28k^6 + 56k^5 + 70k^4 + 56k^3 + 28k^2 + 8k + 1) - (k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1) + (k^2 + 2k + 1) - (k + 1) + 1

= k^8 + 8k^7 + 28k^6 + 56k^5 + 70k^4 + 56k^3 + 28k^2 + 8k + 1 - k^5 - 5k^4 - 10k^3 - 10k^2 - 5k - 1 + k^2 + 2k + 1 - k - 1 + 1

= k^8 + 8k^7 + 28k^6 + (56 - 1)k^5 + (70 - 5)k^4 + (56 - 10)k^3 + (28 - 10)k^2 + (8 - 5 - 1)k + (1 - 1 + 1)

= k^8 + 8k^7 + 28k^6 + 55k^5 + 65k^4 + 46k^3 + 18k^2 + 2k + 1

Заметим, что все слагаемые, кроме последнего, со знаком "+", так как все степени k положительны. Также, последнее слагаемое 1 является положительным числом.

Таким образом, получаем, что левая часть неравенства для a = k + 1 больше нуля.

Таким образом, по принципу математической индукции, неравенство a^8 - a^5 + a^2 - a + 1 > 0 верно для любого натурального числа a.