Question

Найдите наибольшее значение функции: y = 2x² - 10x + 6lnx + 5 на отрезке [10/11;12/11]

Answer 1

$y=2x^2-10x+6\, lnx+5\; ,\; \; \; x\in [\, \frac{10}{11}\, ,\, \frac{12}{11}\, ]\\\\y'=4x-10+\frac{6}{x}=0\; ,\; \; \; \frac{4x^2-10x+6}{x}=0\; ,\; \; \left \{ {{4x^2-10x+6=0} \atop {x\ne 0}} \right. \\\\2x^2-5x+3=0\; ,\; \; D=1\, ,\; x_1=1\; ,\; x_2= \frac{3}{2}=1,5\\\\1\in [\, \frac{10}{11},\frac{12}{11}]\; \; ;\; \; \; 1,5\notin [\, \frac{10}{11} ,\frac{12}{11}\, ] \\\\y(1)=2-10+5=-3\\\\y(\frac{10}{11})\approx \frac{200}{121}-\frac{100}{11}+6(ln10-ln11)+5=-\frac{295}{121}+6(-0,095)\approx -3,008$

$y(\frac{12}{11})\approx \frac{288}{121} - \frac{120}{11}+6(ln12-ln11)+5\approx \\\\\approx -\frac{427}{121}+6\cdot 0,087\approx -3,007 \\\\y_{max}=y(1)=-3$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = 2x² - 10x + 6lnx + 5 на заданном отрезке [10/11;12/11], мы можем использовать теорию оптимизации. Оптимальное значение функции будет достигаться в точке, где производная функции равна нулю или не существует. Мы можем найти эти точки и сравнить значения функции в них, чтобы найти наибольшее значение.

Производная функции

Для начала, найдем производную функции y по x. Для этого нужно взять производную каждого слагаемого по отдельности и сложить полученные результаты. Для удобства, обозначим функцию y = f(x).

f(x) = 2x² - 10x + 6lnx + 5

Производная первого слагаемого

Производная слагаемого 2x² по x будет равна:

f₁(x) = d/dx (2x²) = 4x

Производная второго слагаемого

Производная слагаемого -10x по x будет равна:

f₂(x) = d/dx (-10x) = -10

Производная третьего слагаемого

Производная слагаемого 6lnx по x можно найти с помощью правила дифференцирования логарифма:

f₃(x) = d/dx (6lnx) = 6 * 1/x = 6/x

Производная четвертого слагаемого

Производная константы 5 по x будет равна нулю, так как константа не зависит от переменной:

f₄(x) = d/dx (5) = 0

Общая производная

Теперь сложим полученные производные:

f'(x) = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) + f₄(x) = 4x - 10 + 6/x + 0 = 4x + 6/x - 10

Решение уравнения f'(x) = 0

Чтобы найти точки, где производная равна нулю, решим уравнение f'(x) = 0:

4x + 6/x - 10 = 0

Это нелинейное уравнение, и его решение может быть найдено численными методами или с использованием графического метода. Для этого конкретного уравнения, мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти корень.

Вычисление значения функции y

После того, как мы найдем все точки, где производная равна нулю или не существует, мы можем вычислить значения функции y в этих точках и сравнить их, чтобы найти наибольшее значение на заданном отрезке [10/11;12/11].

Надеюсь, эта подробная информация поможет вам найти наибольшее значение функции y = 2x² - 10x + 6lnx + 5 на отрезке [10/11;12/11]. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!