Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями а)y=1+x^2; y=0; x=-1, x=1 б)y=x^2; y=-2x

Answer 1

Площадь фигуры -  интеграл функции.
a) $b=-1,S=\int\limits^1_b {x^2+1} \, dx= \frac{x^3}{3}+x= \frac{8}{3}$
б)  Пределы интегрирования - от b= -2 до a=0.
$S=\int\limits^a_b {x^2-2x} \, dx = \frac{x^3}{3}- x^{2} = \frac{4}{3}$

Answer 2

а) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=1+x^2, y=0, x=-1, x=1, нужно найти площадь фигуры между кривой y=1+x^2 и осью x, ограниченной вертикальными линиями x=-1 и x=1.

Для этого сначала найдем точки пересечения кривой y=1+x^2 с осями x и y. Для этой кривой точки пересечения с осью x можно найти, приравняв y=0, т.е. 1+x^2=0, откуда x^2=-1, что невозможно для действительных чисел, следовательно, кривая не пересекает ось x. А точки пересечения с осью y можно найти, приравняв x=0, т.е. y=1+0^2=1, откуда точка пересечения с осью y: (0,1).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=1+x^2 и осью x, нужно взять определенный интеграл от 1+x^2 по x от -1 до 1. Площадь этой фигуры будет равна интегралу от 1+x^2 по x от -1 до 1.

∫[from -1 to 1] (1+x^2)dx = x + (x^3)/3 | from -1 to 1 = (1+1^3)/3 - (-1+(-1^3)/3) = (2/3) - (-2/3) = 4/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой y=1+x^2 и осью x, равна 4/3 квадратных единиц.

б) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=-2x, нужно найти площадь фигуры между кривыми y=x^2 и y=-2x.

Для этого сначала найдем точки пересечения кривых y=x^2 и y=-2x. Для этой системы уравнений можно найти точки пересечения, приравняв y=x^2 и y=-2x, т.е. x^2=-2x. Решая это уравнение, получим x^2+2x=0, x(x+2)=0, откуда x=0 и x=-2. Подставляя эти значения x в уравнения, получим точки пересечения: (0,0) и (-2,4).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2 и y=-2x, нужно взять определенный интеграл от x^2 до -2x по x от 0 до -2. Площадь этой фигуры будет равна интегралу от x^2 до -2x по x от 0 до -2.

∫[from 0 to -2] (-2x - x^2)dx = -x^2 - (x^3)/3 | from 0 to -2 = -(-2)^2 - ((-2)^3)/3 - (0^2 - (0^3)/3) = -4 - (-8/3) = -4 + 8/3 = -4/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2 и y=-2x, равна 4/3 квадратных единиц.