Question

Дан треугольник ABC A(-8;-2), B(2;10), C(4;4) найти: 1. Уравнение BN, BN параллельна AC 2. Уравнение медианы CD 3. Уравнение высоты AE 4. Угол B 5. Уравнение биссектрисы CM 6. Центр тяжести треугольника

Answer 1

Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁;у₁) и (х₂;у₂)
(x–x₁)/(x₂–x₁)=(y–y₁)/(y₂–y₁).
1)Уравнение прямой АС:
(x–(–8))/(4–(–8))=(y–(–2))/(4–(–2));
(x+8)/12=(y+2))/6;
6(х+8)=12(y+2);
6x–12y+24=0.
2) (x+8)/12=(y+2)/6 – уравнение прямой АС с направляющим вектором (12;6).
Прямая ВN параллельна АС, значит ее уравнение можно записать как уравнение прямой, проходящей через точку В с направляющим вектором (12;6).
(x–2)/12=(y–10)/6;
6x–12=12y–120;
6x–12y+108=0
3)Координаты точки D – середины отрезка АB: хD=(хА+хВ)/2=(–8+2)/2=–3, уD=(yА+yB)/2=(–2+10)/2=4.
D(–3; 4)
С(4;4)
Уравнение прямой CD как уравнение прямой, проходящей через две точки, заданные своими координатами написать невозможно так как во второй дроби знаменатель равен 0.
Это получается из–за того, что вторые координаты точек С и D одинаковые и равны 4. Это и есть характерное свойство прямой CD.
Уравнение прямой CD: у=4.
3) Чтобы написать уравнение высоты АЕ, напишем уравнение прямой ВС, как прямой проходящей через две точки
(x–2)/(4–2)=(y–10)/(4–10)
или
(x–2)/2=(y–10)/(–6)
–6х+12=2у–20
6х+2у–32=0
Нормальный вектор (6;2) прямой ВС является направляющим вектором прямой АЕ, перпендикулярной ВС.
Уравнение прямой АЕ
(х+8)/6=(у+2)/2
2(х+8)=6(у+2)
2х–6у+4=0
4) Чтобы найти угол В найдем скалярное произведение векторов, выходящих из точки В.
ВА и ВС.
BA=(–8–2;–2–10)=(–10;–12),
BC=(4–2;4–10)=(2;–6)
cos ∠B=(2•(–10)+(–12)•(–6))/
=52/√((–10)2+(–12)2)•√((2)2+(–6)2)=13/√610.
5) М– точка пересечения медиан.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Находим координаты вектора СМ, который равен 2/3 вектора СВ
CD=(–7;0)
CM=(–14/3;0)
xМ–хС=–14/3;
уМ–уС=0;
М(–2/3;0).
Писала не я

Answer 2

1. Уравнение прямой BN, параллельной AC

Для того чтобы найти уравнение прямой BN, параллельной AC, мы можем использовать формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Исходя из условия, точки B и N лежат на прямой BN, и эта прямая параллельна прямой AC. Таким образом, мы можем использовать координаты точек B и N для нахождения уравнения прямой BN.

Известно, что B(2, 10) и N(x, y) лежат на прямой BN. Поскольку прямая BN параллельна прямой AC, мы можем использовать координаты точек A и C, чтобы найти угловой коэффициент прямой AC и использовать его для нахождения углового коэффициента прямой BN.

Координаты точек A и C: A(-8, -2), C(4, 4)

Для нахождения углового коэффициента прямой AC, мы используем формулу:

угловой коэффициент = (y2 - y1) / (x2 - x1)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и C соответственно.

Подставляя значения, получаем:

угловой коэффициент AC = (4 - (-2)) / (4 - (-8)) = 6 / 12 = 1/2

Так как прямая BN параллельна прямой AC, угловой коэффициент прямой BN также равен 1/2.

Теперь, зная угловой коэффициент BN и координаты точки B, мы можем использовать формулу для уравнения прямой:

y - y1 = m(x - x1)

где m - угловой коэффициент, (x1, y1) - координаты точки на прямой.

Подставляя значения, получаем:

y - 10 = (1/2)(x - 2)

Это уравнение прямой BN, параллельной AC.

2. Уравнение медианы CD

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения уравнения медианы CD, мы можем использовать формулу для нахождения середины отрезка.

Исходя из условия, точки C и D лежат на медиане CD. Мы можем использовать координаты точек C и D для нахождения середины отрезка CD.

Известно, что C(4, 4) и D(x, y) лежат на медиане CD. Мы можем использовать формулу для нахождения середины отрезка:

середина = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек C и D соответственно.

Подставляя значения, получаем:

середина = ((4 + x) / 2, (4 + y) / 2)

Так как середина отрезка CD является точкой на медиане, уравнение медианы CD можно записать в виде:

y - (4 + y) / 2 = m(x - (4 + x) / 2)

где m - угловой коэффициент медианы, (4 + x) / 2, (4 + y) / 2 - координаты точки на медиане.

3. Уравнение высоты AE

Высота треугольника - это отрезок, проходящий через вершину треугольника и перпендикулярный противоположной стороне. Для нахождения уравнения высоты AE, мы можем использовать формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярной заданной прямой.

Исходя из условия, точки A и E лежат на высоте AE. Мы можем использовать координаты точек A и E для нахождения уравнения прямой AE.

Известно, что A(-8, -2) и E(x, y) лежат на прямой AE. Поскольку высота AE перпендикулярна стороне BC, мы можем использовать угловой коэффициент прямой BC для нахождения углового коэффициента прямой AE.

Координаты точек B и C: B(2, 10), C(4, 4)

Для нахождения углового коэффициента прямой BC, мы используем формулу:

угловой коэффициент = (y2 - y1) / (x2 - x1)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек B и C соответственно.

Подставляя значения, получаем:

угловой коэффициент BC = (4 - 10) / (4 - 2) = -6 / 2 = -3

Так как высота AE перпендикулярна стороне BC, угловой коэффициент прямой AE является отрицательной обратной величиной углового коэффициента прямой BC.

Теперь, зная угловой коэффициент AE и координаты точки A, мы можем использовать формулу для уравнения прямой:

y - y1 = m(x - x1)

где m - угловой коэффициент, (x1, y1) - координаты точки на прямой.

Подставляя значения, получаем:

y - (-2) = (-1/3)(x - (-8))

Это уравнение прямой AE, являющейся высотой треугольника.

4. Угол B

Угол B - это угол, образованный сторонами AB и BC. Для нахождения угла B, мы можем использовать теорему косинусов.

Используя координаты точек A, B и C, мы можем найти длины сторон треугольника ABC. Затем, используя теорему косинусов, мы можем найти угол B.

Длины сторон треугольника ABC:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)

AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)

где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) - координаты точек A, B и C соответственно.

Подставляя значения, получаем:

AB = √((2 - (-8))^2 + (10 - (-2))^2) = √(10^2 +