Question

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка y'+y+1=0

Answer 1

$y'+y+1=0 \\ y'=-(y+1) \\ \\ \frac{dy}{dx} =-(y+1) \\ \\ \frac{dy}{y+1} =-dx \\ \\ \int\limits {\frac{dy}{y+1} } \ =\int\limits {- } \, dx \\ \\ ln|y+1|=-x+C \\ \\ y+1=e^{-x+C} \\ \\ y+1=e^C*e^{-x} \\ \\ y+1=Ce^{-x} \\ \\ y=Ce^{-x}-1 \\ \\ OTBET: \ y=Ce^{-x}-1$

Answer 2

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y'+y+1=0, нужно сначала найти его интегрирующий множитель. Интегрирующий множитель — это функция μ(x), такая что уравнение μ(x)y'+μ(x)y=μ(x) становится уравнением в полных дифференциалах. Для линейного уравнения, интегрирующий множитель можно найти по формуле μ(x)=exp (∫a0(x)dx), где a0(x) — коэффициент при y в исходном уравнении. В данном случае, a0(x)=1, поэтому μ(x)=exp (∫dx)=exp (x). Умножая исходное уравнение на μ(x), получаем exp (x)y'+exp (x)y=exp (x). Это уравнение в полных дифференциалах, так как его левая часть является производной от произведения exp (x) и y. Следовательно, его общее решение можно найти путем интегрирования обеих частей: ∫exp (x)y'dx+∫exp (x)ydx=∫exp (x)dx. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем exp (x)y=exp (x)+C, где C — произвольная постоянная. Отсюда можно выразить y в явном виде: y=1+C*exp (-x). Это и есть общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка y'+y+1=0. Для более подробного объяснения, вы можете посмотреть [этот сайт](https://math.semestr.ru/math/lec_diffur_5.php) или [этот сайт](https://all-equa.ru/articles/kak-nayti-obschee-i-chastnoe-reshenie-differentsialnogo-uravneniya-pervogo-poryadka/).