Question

На 100 карточках записаны числа от одного до 200 на каждой карточке по два числа 1 четное и одно нечетное отличающиеся на 1 Вася выбрал двадцать первую карточку Могла ли сумма 42 чисел на них оказаться равнины 2017?

Answer 1

Обратим внимание на два момента 1. числа натуральные от 1 до 200 2. Числа четное и нечетное на карточке, отличаются на 1. 
Есть одно разложение этих чисел на сто карточек
1-2, 3-4, 5-6, ..... 197-198, 199-200 итого сто пар - других разложений нет , иначе бы не выполнялся пункт что разница на каждой карточке равна 1
Сумма на карточках 3 (1*4-1), 7 (2*4-1), 11 (3*4 -1), ....   395 (99*4-1), 399 (4*100-1) то есть можно вывести общую формулу 4*k-1 (k⊂[1 100]) 
Надо теперь определить сумма 21-ой карточки равно 2017 или нет 
сложим 21 карточку 
(4*k₁-1)+(4*k₂-1)+(4*k₃-1)+...+(4*k₂₀-1)+(4*k₂₁-1)=2017
4*(k₁+k₂+k₃+...+k₂₀+k₂₁)-21=2017
4*(k₁+k₂+k₃+...+k₂₀+k₂₁)=2038
k₁+k₂+k₃+...+k₂₀+k₂₁= 2038/4 = 509.5
не может быть , так как слева сумма натуральных чисел и сумма натуральное число, а справа дробь 

Answer 2

Да, сумма 42 чисел на двадцать первой карточке и 21 другой карточке может оказаться равной 2017. Для этого мы можем предположить, что на двадцать первой карточке записаны числа 100 и 101, а на остальных 21 карточке записаны числа от 1 до 99 и от 102 до 200. Тогда сумма чисел на двадцать первой карточке будет равна 100 + 101 = 201, а сумма чисел на остальных 21 карточке будет равна (1 + 2 + ... + 99) + (102 + 103 + ... + 200) = 100*101 - 5050 + 103*101 - 5151 = 10101. Таким образом, сумма 42 чисел на двадцать первой карточке и 21 других карточке может оказаться равной 2017.