Question

Привести кривую второго порядка к каноническому виду и построить ее. 2x^2+3y^2-10x+21y-70=0

Answer 1

2x^2 + 3y^2 - 10x + 21y - 70 = 0
2(x^2-5x+(5/2)^2) - 2*(5/2)^2 + 3(y^2+7y+(7/2)^2) - 3*(7/2)^2 - 70 = 0
2(x - 2,5)^2 + 3(y + 3,5)^2 - 2*25/4 - 3*49/4 - 70 = 0
2(x - 2,5)^2 + 3(y + 3,5)^2 = (50 + 147 + 280)/4 = 477/4
(x - 2,5)^2 / (477/8) + (y + 3,5)^2 / (159/4) = 1
Это эллипс с центром (2,5; -3,5) и полуосями a = √(477/8); b = √(159/4)
Стройте сами

Answer 2

$2x^2+3y^2-10x+21y-70=0\\\\(2x^2-10x)+(3y^2+21y)=70\\\\2(x^2-5x)+3(y^2+7y)=70\\\\\; [\, x^2\pm px=(x\pm \frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2=(x\pm \frac{p}{2})^2-\frac{p^2}{4}\, ]\\\\2\cdot ((x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4})+3\cdot \left ((y+\frac{7}{2})^2-\frac{49}{4}\right )=70\\\\2(x-\frac{5}{2})^2-\frac{50}{4}+3(y+\frac{7}{2})^2-\frac{147}{4}=70\\\\2(x-\frac{5}{2})^2+3(y+\frac{7}{2})^2=70+\frac{50}{4}+\frac{147}{4}\\\\2(x-\frac{5}{2})^2+3(y+\frac{7}{2})^2=\frac{477}{4}\, |:\frac{477}{4}$

$\frac{(x-\frac{5}{2})^2}{\frac{477}{8}} + \frac{(y+\frac{7}{2})^2}{\frac{477}{12}} =1\\\\\frac{(x-2,5)^2}{59,625}+\frac{(y+3,5)^2}{39.75}=1\\\\Centr\; -\; (2,5\; ;\; 3,5\, )\\\\a=\sqrt{59,625}\approx 7,7\; \; ;\; \; b=\sqrt{39,75}\approx 6,3$

От точки  (2,5 ;  3,5) , которая является центром эллипса, отложить вправо и
 влево по прямой  у=3,5  отрезки, длина которых равна 7,7. 
А от этой точки вверх и вниз по прямой х=3,5отложить
отрезки длиной 6,3. Соединить полученные 4 вершины эллипса плавной кривой.

Answer 3

Для приведения кривой второго порядка к каноническому виду, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Расположите все члены уравнения на одной стороне, чтобы получить выражение вида: Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0. В данном случае, у нас есть уравнение: 2x^2 + 3y^2 - 10x + 21y - 70 = 0.

2. Сгруппируйте члены с переменными x и y в отдельные группы. В нашем случае, получим: (2x^2 - 10x) + (3y^2 + 21y) - 70 = 0.

3. Для завершения канонического вида, нужно дополнить квадратные выражения полными квадратами. Для этого, выделим коэффициенты при x и y, а затем разделим их пополам и возвысим в квадрат. Также, добавим константы, чтобы сохранить равенство. В нашем случае, получим:

(2x^2 - 10x) + (3y^2 + 21y) - 70 = 0 2(x^2 - 5x) + 3(y^2 + 7y) - 70 = 0 2(x^2 - 5x + 25/4) + 3(y^2 + 7y + 49/36) - 70 - 2*25/4 - 3*49/36 = 0

4. Упростим полученное уравнение:

2(x - 5/2)^2 + 3(y + 7/6)^2 - 70 - 25/2 - 49/12 = 0 2(x - 5/2)^2 + 3(y + 7/6)^2 - 140/2 - 25/2 - 49/12 = 0 2(x - 5/2)^2 + 3(y + 7/6)^2 - 140/2 - 75/2 - 49/12 = 0 2(x - 5/2)^2 + 3(y + 7/6)^2 - (140*6 + 75*6 + 49)/12 = 0 2(x - 5/2)^2 + 3(y + 7/6)^2 - (840 + 450 + 49)/12 = 0 2(x - 5/2)^2 + 3(y + 7/6)^2 - 1339/12 = 0

Теперь уравнение кривой имеет канонический вид:

2(x - 5/2)^2 + 3(y + 7/6)^2 - 1339/12 = 0

Давайте построим эту кривую.