Question

Пусть число x+1/x— целое. Для какого наименьшего количества целых чисел k из отрезка [−2014;2014] число x^k+1/x^k тоже является целым?

Answer 1

 Если х=1, то для любого К получаем целое число, т.е. 2014*2+1 значений К явлются решениями.
Если х≠1, запишем условие х+1/х=n (n-целое),
тогда для любого х = (n+(n²-4)⁰⁵)/2 величина х+1/х целое число  (n).  Среди этого множества х найдутся такие, для которых
 х^k + 1/х^k  не является целым при любом к≠0. Однако при к=0 любое из этих значений- целое (х+1/х=2). 
таким образом, наименьшее количество целых чисел k это 2 (к=0, k=1).

Answer 2

Задача

Мы должны найти наименьшее количество целых чисел k из отрезка [-2014; 2014], для которых число x^k + 1/x^k также является целым числом.

Решение

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим некоторые свойства чисел x^k и 1/x^k.

1. Если x = 1, то x^k = 1 для любого целого k. В этом случае, 1/x^k также будет равно 1 для любого целого k. Таким образом, для x = 1, число x^k + 1/x^k всегда будет целым числом.

2. Если x = -1, то x^k будет равно 1 для четных k и -1 для нечетных k. В этом случае, 1/x^k также будет равно 1 для четных k и -1 для нечетных k. Таким образом, для x = -1, число x^k + 1/x^k также всегда будет целым числом.

3. Если x = 0, то 1/x^k не определено, так как мы не можем делить на ноль. Таким образом, для x = 0, число x^k + 1/x^k не будет целым числом.

4. Если x ≠ 0, x ≠ 1 и x ≠ -1, то мы можем заметить следующее:

- Если k - четное число, то x^k + 1/x^k будет равно 2cos(kθ), где θ - арккосинус x. Это следует из формулы Эйлера для экспоненты. - Если k - нечетное число, то x^k + 1/x^k будет равно 2xsin(kθ), где θ - арккосинус x.

Из этих наблюдений следует, что для числа x, отличного от 0, 1 и -1, число x^k + 1/x^k будет целым числом только в тех случаях, когда cos(kθ) или sin(kθ) являются целыми числами.

Теперь давайте рассмотрим отрезок [-2014; 2014]. Мы должны найти наименьшее количество целых чисел k из этого отрезка, для которых число x^k + 1/x^k также является целым числом.

Возможные значения x, для которых число x^k + 1/x^k может быть целым числом, это x = 1, x = -1 и x ≠ 0, 1 и -1.

- Для x = 1, число x^k + 1/x^k всегда будет целым числом, независимо от значения k. - Для x = -1, число x^k + 1/x^k также всегда будет целым числом, независимо от значения k. - Для x ≠ 0, 1 и -1, число x^k + 1/x^k будет целым числом только в тех случаях, когда cos(kθ) или sin(kθ) являются целыми числами.

Таким образом, наименьшее количество целых чисел k из отрезка [-2014; 2014], для которых число x^k + 1/x^k также является целым числом, будет зависеть от значения x.

Пожалуйста, уточните значение x, чтобы я могу дать более точный ответ на этот вопрос.