Question

Имеются 3 одинаковые урны. В первой находятся 4 белых и 6 черных шаров, во второй -7 белых и 3 черных, а в третьей -только черные. Наугад выбирается урна, наугад выбирается шар. выбранный шар оказался черным. Какова вероятность того, что вынут шар из первой урны?Решение подробно!

Answer 1

Обозначим за Ai событие "из i-ой урны вытащен черный шар", B = "вытащен черный шар".

P(B) = (общее число черных шаров) / (общее число шаров) = (6 + 3 + 10) / 30 = 19/30 = P(A1) + P(A2) + P(A3)
P(A1) =  (число черных шаров в первой урне) / (общее число шаров) = 6 / 30 = 1/5
P(B|A1) = P(B|A2) = P(B|A3) = 1

Формула Байеса.
$P(A_1|B)=\dfrac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)}=\\=\dfrac{P(A_1)}{P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)}=\dfrac{P(A_1)}{P(B)}=\dfrac6{19}$

Как получить тоже самое, не выписывая длинных формул.
Если известно, что был вытащен черный шар, о белых можно забыть. Ситуация упрощается: "В первой урне 6 черных шаров, во второй 3, в третьей 10. Вытаскивают случайный шар. Какова вероятность, что этот шар из первой урны?" Очевидно, ответ 6 / (6 + 3 + 10) = 6 / 19

Answer 2

Problem Statement

У нас есть 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 6 черных шаров, во второй - 7 белых и 3 черных, а в третьей - только черные. Мы наугад выбираем урну и наугад выбираем шар из выбранной урны. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность того, что шар был взят из первой урны?

Solution

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу условной вероятности. Пусть A - событие "шар был взят из первой урны", а B - событие "выбранный шар оказался черным". Мы хотим найти вероятность события A при условии события B, то есть P(A|B).

Используя формулу условной вероятности, мы можем записать: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Теперь давайте найдем значения P(A ∩ B) и P(B).

P(A ∩ B) - вероятность того, что шар был взят из первой урны и оказался черным. В первой урне есть 6 черных шаров, поэтому P(A ∩ B) = 6/10 = 3/5.

P(B) - вероятность того, что выбранный шар оказался черным. Чтобы найти это значение, мы должны учесть все возможные случаи, когда черный шар может быть выбран. Это может произойти, если шар был взят из первой урны и оказался черным, или если шар был взят из второй урны и оказался черным, или если шар был взят из третьей урны и оказался черным. Таким образом, P(B) = P(A ∩ B) + P(B' ∩ B) + P(C ∩ B), где B' - событие "шар был взят из второй урны", C - событие "шар был взят из третьей урны".

P(B' ∩ B) - вероятность того, что шар был взят из второй урны и оказался черным. Во второй урне есть 3 черных шара, поэтому P(B' ∩ B) = 3/10.

P(C ∩ B) - вероятность того, что шар был взят из третьей урны и оказался черным. В третьей урне есть только черные шары, поэтому P(C ∩ B) = 1/1 = 1.

Теперь мы можем вычислить P(B): P(B) = P(A ∩ B) + P(B' ∩ B) + P(C ∩ B) = 3/5 + 3/10 + 1 = 9/10.

Теперь мы можем вычислить P(A|B): P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (3/5) / (9/10) = (3/5) * (10/9) = 2/3.

Таким образом, вероятность того, что шар был взят из первой урны при условии, что выбранный шар оказался черным, равна 2/3.

Answer

Вероятность того, что шар был взят из первой урны при условии, что выбранный шар оказался черным, равна 2/3.