Question

Найти точки перегиба функции y = x^4-8x^3+18x^2+2x+5 с полным объяснением пожалуйста

Answer 1

ДАНО
y = x⁴ - 8x³ + 18x² + 2x + 5.
НАЙТИ точки перегиба
РЕШЕНИЕ
Точки перегиба - корни второй производной.
Первая производная
y' = 4x³ - 24x² + 36x² + 2
Вторая производная и её корни.
y" = 12x² - 48x + 36 = 0
Упрощаем сократив на 12.
y" = x² - 4x + 3 = 0.
Решаем квадратное уравнение.
x1 = 1 и х2 = 3. - ОТВЕТ
Для демонстрации правильности решения сделаем график функции.

Answer 2

Поиск точек перегиба функции y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 + 2x + 5

Чтобы найти точки перегиба функции y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 + 2x + 5, мы должны найти значения x, при которых меняется выпуклость или вогнутость графика функции. Точки перегиба соответствуют значениям x, где вторая производная функции равна нулю или не существует.

Шаг 1: Нахождение первой и второй производной функции

Для начала найдем первую производную функции y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 + 2x + 5. Производная функции позволяет нам определить, как функция меняется по мере изменения x.

Первая производная: y' = 4x^3 - 24x^2 + 36x + 2

Затем найдем вторую производную функции, чтобы определить точки перегиба.

Вторая производная: y'' = 12x^2 - 48x + 36

Шаг 2: Нахождение точек перегиба

Теперь найдем значения x, при которых вторая производная равна нулю или не существует. Эти значения x будут соответствовать точкам перегиба функции.

12x^2 - 48x + 36 = 0

Решим это квадратное уравнение:

x = (-(-48) ± √((-48)^2 - 4 * 12 * 36)) / (2 * 12)

x = (48 ± √(2304 - 1728)) / 24

x = (48 ± √576) / 24

x = (48 ± 24) / 24

x = 4 или x = 2

Таким образом, у нас есть две точки перегиба: x = 4 и x = 2.

Шаг 3: Определение выпуклости и вогнутости

Чтобы определить, является ли график функции вогнутым или выпуклым в точках перегиба, мы можем проанализировать знак второй производной в этих точках.

Подставим значения x = 4 и x = 2 во вторую производную:

y''(4) = 12 * 4^2 - 48 * 4 + 36 = 192 - 192 + 36 = 36

y''(2) = 12 * 2^2 - 48 * 2 + 36 = 48 - 96 + 36 = -12

Теперь мы можем сделать выводы:

- В точке x = 4 вторая производная положительна (y''(4) > 0), что означает, что график функции в этой точке выпуклый вверх. - В точке x = 2 вторая производная отрицательна (y''(2) < 0), что означает, что график функции в этой точке вогнутый вниз.

Вывод

Таким образом, у функции y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 + 2x + 5 есть две точки перегиба: x = 4 (выпуклый вверх) и x = 2 (вогнутый вниз). Эти точки указывают на изменение выпуклости графика функции.