Question

Решить уравнение (x+1)(x²+2)+(x+2)(x² - 1)=2

Answer 1

1) Область определения: D(y) x²-2x≠0
(-∞;0) (0;2) (2;∞)
2) Множество значений функции: (-∞;∞)
3) Проверим является функция четной или нечетной:
y(x)=(x-1)/(x²-2x)
y(-x)=(-x-1)/(x²+2x), так как y(-x)≠-y(x) и y(x)≠y(-x), то функция не является ни четной ни не четной.
4) Найдем нули функции:
у=0, получаем х-1=0; х=1
Итак график пересекат ось абсцисс в точке (1;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания:
y'=(x²-2x-(2x-2)(x-1))/(x²-2x)²=(-x²+2x-2)/(x²-2x)² ; y'=0
-x²+2x-2=0 уравнение не имеет корней, следовательно точей экстремума функция не имеет.
Так как y'< 0 на всей области определения, то функция убывает.
6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости функции:
y"=((2-2x)(x²-2x)²-2(x²-2x)(2x-2)(2x-x²-2))/(x²-2x)^4=(2x³-6x²+6x-4)/(x²-2x)³; y"=0
2x³-6x²+6x-4=0
(x-1)(x²-2x+4)=0
x=1
Так как промежутках (-∞;0) (0;1) y"< 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутках (1;2) (;∞) y"> 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вниз.
Точка х=1 является точкой перегиба функции.
у (1)=0
7) Найдем асимптоты функции:
а) вертикальные:
lim (при х->0-) (x-1)/(x²-2x)=-∞
lim (при х->0+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=0 является вертикальной асимптотой.
lim (при х->2-) (x-1)/(x²-2x)=-∞
lim (при х->2+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=2 является вертикальной асимптотой.
б) наклонные у=kx+b
k=lim (при x->∞) y(x)/x=lim (при x->∞) (x-1)/(x³-2x²)=0
b=lim (при x->∞) (y(x)-kx)=lim (при x->∞) (x-1)/(x²-2x)=0
следовательно прямая у=0 является горизонтальной асимптотой:
8) Все строй график!

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение, которое нам нужно решить, выглядит следующим образом:

(x + 1)(x² + 2) + (x + 2)(x² - 1) = 2

Для начала раскроем скобки и упростим выражение:

x³ + 2x² + x² + 2 + x³ + 2x² - x - 2 = 2

Сгруппируем подобные слагаемые:

2x³ + 3x² - x = 2

Теперь приведем уравнение к каноническому виду, то есть упорядочим слагаемые по убыванию степеней переменной x:

2x³ + 3x² - x - 2 = 0

Далее, для решения этого уравнения, можно использовать различные методы, такие как метод Бианки, графический метод или численные методы. Однако, в данном случае мы воспользуемся методом подбора корней.

Попробуем подобрать корень уравнения, подставив различные значения x и проверив, равно ли уравнение нулю при этих значениях. Переберем некоторые целочисленные значения x:

Для x = 0: 2(0)³ + 3(0)² - (0) - 2 = -2 ≠ 0

Для x = 1: 2(1)³ + 3(1)² - (1) - 2 = 3 ≠ 0

Для x = -1: 2(-1)³ + 3(-1)² - (-1) - 2 = 2 ≠ 0

Для x = 2: 2(2)³ + 3(2)² - (2) - 2 = 20 ≠ 0

Мы видим, что ни одно из перебранных значений не является корнем уравнения.

Таким образом, данное уравнение не имеет рациональных корней. Если вам необходимо найти приближенное значение корня, вы можете воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.