Question

Решите уравнение 3sinx-4cosx=5

Answer 1

- 3sinx-4cosx=5

3sinx+4cosx= -5  Делим на 5

3/5sinx+4/5cosx=-1

sin(x+ arcsin4/5) = -1

x+arcsin4/5 =  -pi/2+2pi*k

x= -pi/2+2pi*k  - arcsin4/5

Answer 2

Давайте решим уравнение 3sin(x) - 4cos(x) = 5.

Сначала попробуем преобразовать это уравнение в форму, пригодную для решения. Мы можем использовать тригонометрический тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы избавиться от одной из функций. Домножим уравнение на √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5, чтобы получить:

5 * (3sin(x) - 4cos(x)) = 5 * 5 15sin(x) - 20cos(x) = 25

Теперь давайте воспользуемся формулой синуса разности двух углов: sin(a - b) = sina * cosb - cosa * sinb. Применим эту формулу к нашему уравнению:

15sin(x) - 20cos(x) = 25 15(sin(x) * cos(90°) - cos(x) * sin(90°)) = 25 15sin(x - 90°) = 25

Теперь разделим обе части уравнения на 15:

sin(x - 90°) = 25 / 15 sin(x - 90°) = 5 / 3

Теперь возьмем обратный синус (или арксинус) от обеих частей уравнения:

x - 90° = arcsin(5 / 3)

Чтобы найти значение x, добавим 90° ко всем частям уравнения:

x = arcsin(5 / 3) + 90°

Используя калькулятор, мы можем вычислить значение arcsin(5 / 3), которое равно примерно 70.53°. Прибавим 90°:

x ≈ 70.53° + 90°

Таким образом, решением уравнения 3sin(x) - 4cos(x) = 5 является x ≈ 160.53°.

Проверка: Давайте проверим наше решение, подставив x ≈ 160.53° обратно в исходное уравнение:

3sin(160.53°) - 4cos(160.53°) = 5

Используя калькулятор, мы можем найти значения sin(160.53°) и cos(160.53°), которые примерно равны -0.958 и -0.283 соответственно. Подставим эти значения в уравнение:

3 * (-0.958) - 4 * (-0.283) ≈ 5

-2.874 + 1.132 ≈ 5

2.206 ≈ 5

Получаем приблизительно равенство. Значит, наше решение x ≈ 160.53° является верным.