Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА!Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 5n^2 + 10 (пять н в квадрате плюс десять) не может быть квадратом натурального числа.заранее СПАСИБО!

Answer 1

покажем что число n^2+2 не делится на 5. если число делится на 5, оно заканчивается на 0 или 5. значит n^2 заканчивается на 8 или 3.

составим таблицу оконечных цифр квадратов.

1; 4; 9; 6; 5;

5n^2+10=5(n^2+2) c учетом доказанного получаем, что выражение не является полным квадратом.

Answer 2

Нужно доказать что:

$5n^2+10{\neq}m^2, m \in N$ 

Для этого достаточно доказать, что если

  $5n^2+10=m^2,$  то m не будет натуральным числом.

Докажем это:

$5n^2+10=m^2 \\ m=\sqrt{5n^2+10}=\sqrt{5}\sqrt{n^2+2}$ 

$\sqrt{5}$ не является натуральным числом, это иррациональное число, т.к число $\sqrt{n}$ является иррациональным для любого натурального n, не являющегося точным квадратом.

 $\sqrt{n^2+2}[$ даже если это выражение принадлежит к множеству натуральных чисел, то    $\sqrt{5}\sqrt{n^2+2}$ не будет принадлежать множеству натуральных чисел, потому что   $\sqrt{5}$ не является натуральным, а множество натуральных чисел замкнуто относительно умножения, т.е любое натуральное число может быть представлено только как произведение двух натуральных чисел.

Значит получили противоречие.

Следовательно, если  $5n^2+10=m^2,$, то m не будет натуральным числом.

Answer 3

Proof that 5n^2 + 10 is Not a Perfect Square

To prove that the expression 5n^2 + 10 (five n squared plus ten) cannot be a perfect square for any natural number n, we can use a contradiction. We'll assume that 5n^2 + 10 is a perfect square for some natural number n and then show that it leads to a contradiction.

Let's assume that 5n^2 + 10 is a perfect square for some natural number n.

Assumption: 5n^2 + 10 is a perfect square for some natural number n.

Now, we'll proceed to show that this assumption leads to a contradiction.

Proof by Contradiction

We can start by expressing 5n^2 + 10 as a perfect square. Let's assume 5n^2 + 10 = m^2, where m is also a natural number.

Now, we can rearrange the equation to isolate n:

5n^2 = m^2 - 10

This implies that 5n^2 is 10 less than a perfect square, m^2.

We can then rewrite 5n^2 as 5n^2 = 5 * (n^2) = 5 * (n * n).

This means that 5n^2 is a multiple of 5, and since 10 is also a multiple of 5, the difference between a perfect square and 10 (m^2 - 10) must also be a multiple of 5.

However, this leads to a contradiction because the difference between a perfect square and 10 cannot always be a multiple of 5 for all natural numbers n.

Therefore, our initial assumption that 5n^2 + 10 is a perfect square for some natural number n leads to a contradiction, and thus, 5n^2 + 10 cannot be a perfect square for any natural number n.

Conclusion: 5n^2 + 10 is not a perfect square for any natural number n.