Question

Нужно вычислить интеграл,интеграл неопределённый 1/(x^2-25)+1/(sqrtx^2+sqrt5)+1/(x^2+3) ,заранее спасибо

Answer 1

$\int \Big (\frac{1}{x^2-25}+ \frac{1}{\sqrt{x^2}+\sqrt5}+ \frac{1}{x^2+3} \Big )dx=\int \frac{d}{x^2-25}+\int \frac{dx}{|x|+\sqrt5}+\\\\\\+\int \frac{dx}{x^2+3}=\frac{1}{2\cdot 5}\cdot ln\Big | \frac{x-5}{x+5}\Big |\pm ln|\, |x|+\sqrt5|+\\\\+\frac{1}{\sqrt3}\cdot arctg\frac{x}{\sqrt3} +C;[\tex]\\[tex]P.S.\; \; Tak\; \; kak\; \; \sqrt{x^2}=|x|= \left \{ {{x,\; esli\; x \geq 0} \atop {-x,\; esli\; x\ \textless \ 0}} \right. \; ,to\; \\\\\\pri\; \; x \geq 0:\; \int \frac{dx}{|x|+\sqrt5}=\int \frac{dx}{x+\sqrt5}=ln|x+\sqrt5|+C\; ,\\\\pri\; \; x\ \textless \ 0:\; \; \int \frac{dx}{|x|+\sqrt5}=\int \frac{dx}{-x+\sqrt5}=-ln|-x+\sqrt5|+C\, .$

Пример с уточнённым условием:
 
$2)\; \; \int \Big (\frac{1}{x^2-25}+\frac{1}{\sqrt{x^2+5}}+\frac{1}{x^2+3}\Big )dx=\\\\=\int \frac{dx}{x^2-25}+\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+5}} +\int \frac{dx}{x^2+3} =\frac{1}{10}\cdot ln\Big | \frac{x-5}{x+5}\Big |+ln|x+\sqrt{x^2+5}|+\\\\+\frac{1}{\sqrt3}\cdot arctg\frac{x}{\sqrt3}+C\, ;$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, давайте разобьем его на отдельные части и посчитаем каждую из них по отдельности.

Вычисление первой части интеграла

Первая часть интеграла имеет вид: 1/(x^2-25). Чтобы вычислить этот интеграл, мы можем воспользоваться методом частичных дробей.

Разложим дробь 1/(x^2-25) на простейшие дроби следующим образом: 1/(x^2-25) = A/(x-5) + B/(x+5),

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.

Чтобы найти значения A и B, мы можем сложить дроби с общим знаменателем и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x.

(x^2-25)(A/(x-5) + B/(x+5)) = 1.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

A(x+5) + B(x-5) = 1.

Решим полученное уравнение относительно A и B.

Ax + 5A + Bx - 5B = 1.

(A + B)x + (5A - 5B) = 1.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений:

A + B = 0, (1) 5A - 5B = 1. (2)

Решим эту систему уравнений. Из уравнения (1) получаем A = -B. Подставим это значение в уравнение (2):

5(-B) - 5B = 1.

-10B = 1.

B = -1/10.

Таким образом, B = -1/10. Подставим это значение в уравнение (1):

A + (-1/10) = 0.

A = 1/10.

Таким образом, A = 1/10 и B = -1/10.

Теперь, когда мы нашли значения A и B, мы можем вычислить интеграл первой части:

∫(1/(x^2-25))dx = ∫(1/10(x-5) - 1/10(x+5))dx.

Вычислим этот интеграл:

∫(1/10(x-5) - 1/10(x+5))dx = (1/10)ln|x-5| - (1/10)ln|x+5| + C,

где C - произвольная постоянная.

Вычисление второй части интеграла

Вторая часть интеграла имеет вид: 1/(sqrt(x^2)+sqrt(5)). Чтобы вычислить этот интеграл, мы можем воспользоваться заменой переменной.

Пусть u = sqrt(x^2) + sqrt(5). Тогда du/dx = x/sqrt(x^2) = x/u.

Выразим dx через du:

dx = du/(x/u) = u du/x.

Теперь мы можем заменить переменные в интеграле:

∫(1/(sqrt(x^2)+sqrt(5)))dx = ∫(1/u) (u du/x).

Сократим u в числителе и знаменателе:

∫(1/u) (u du/x) = ∫(du/x).

Интеграл ∫(du/x) равен ln|x| + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, вторая часть интеграла равна ln|x| + C.

Вычисление третьей части интеграла

Третья часть интеграла имеет вид: 1/(x^2+3). Чтобы вычислить этот интеграл, мы можем вос