Question

3. 12 студентов случайным образом рассаживаются на 12 первых местах одного ряда кинотеатра. Какова вероятность, что студенты М и Н будут сидеть рядом

Answer 1

   Cогласно классическому определению, вероятностью P события A называют отношение числа элементарных исходов испытания nA, благоприятствующих наступлению события, к числу всех возможных элементарных исходов испытания n, то есть P(A) = nA\n.  Для решения данной задачи необходимо вспомнить одно из правил комбинаторики, а именно: “Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности n различных элементов и различающиеся только порядком их расположения, называются перестановками. Число перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле Pn = 1*2*3*...*n= n!”.
   Исходя из условий задачи, а также предположив, что все исходы равновероятны (студенты могут сесть куда угодно), определим количество всех возможных элементарных исходов (вариантов рассаживания студентов), исходя из наличия 12-ти первых мест одного ряда кинотеатра как n = P12 = 1*2*3*...*12 = 12!
   Для дальнейших рассуждений лично мне приятнее будет предположить, что М и Н — это хорошие друзья Миша и Наташа, и они, взявшись за руки, садятся рядом :-). В этом случае выбор мест ограничится для них 11-ю вариантами, и тогда P11 = 1*2*3*...*11 = 11!Здесь надо учесть ещё и то, что Миша и Наташа могут взяться за руки двумя способами: М-H и Н-М, а значит, число вариантов удваивается - nA = 2*7!
   Итого, математически: общее число исходов n = 12!, число благоприятных исходов nA = 2*11!, вероятность равна P(A) = nA\n = 2*11!\12! = 2*39916800\479001600 = 0,167

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод комбинаторики. Всего есть 12 студентов, поэтому общее число способов рассадить их на 12 местах равно 12!.

Теперь давайте рассмотрим студентов М и Н как одну пару. Тогда у нас есть 11 других студентов, которые могут занять любое из 11 оставшихся мест. Поэтому общее число способов рассадить студентов М и Н на 12 местах равно 11!.

Таким образом, вероятность того, что студенты М и Н будут сидеть рядом, равна отношению числа способов рассадить их рядом к общему числу способов рассадить всех студентов:

P = 11!/12!

P = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)

P = 1/12

Таким образом, вероятность того, что студенты М и Н будут сидеть рядом, составляет 1/12.