Question

Вычислите интеграл 6cos3x×6cosx dx

Answer 1

6 ∫ cos3x*cosxdx = 6 ∫ 0.5(cos(3x+x)+cos(3x-x))dx = 3 ∫ cos4xdx + 3 ∫ cos2xdx = 3/4 * sin4x + 3/2 * sin2x +c

Answer 2

Интеграл 6cos(3x) * 6cos(x) dx

Давайте вычислим данный интеграл.

Сначала раскроем произведение косинусов: \[ 6\cos(3x) \cdot 6\cos(x) = 36\cos(3x)\cos(x) \]

Затем воспользуемся тригонометрической формулой: \[ \cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)] \]

Таким образом: \[ 36\cos(3x)\cos(x) = 18[\cos(3x - x) + \cos(3x + x)] = 18[\cos(2x) + \cos(4x)] \]

Теперь мы можем выразить интеграл в виде суммы двух интегралов: \[ \int 6\cos(3x) \cdot 6\cos(x) dx = \int 18[\cos(2x) + \cos(4x)] dx \]

Теперь проинтегрируем по отдельности: \[ \int 18\cos(2x) dx = 9\sin(2x) + C_1 \] \[ \int 18\cos(4x) dx = 9\sin(4x) + C_2 \]

Где \( C_1 \) и \( C_2 \) - постоянные интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ: \[ \int 6\cos(3x) \cdot 6\cos(x) dx = 9\sin(2x) + 9\sin(4x) + C \] Где \( C = C_1 + C_2 \)