Question

Вычислить площадь области, ограниченной линиями y=1-x^2 и y=x+1

Answer 1

Вычислить площадь области, ограниченной линиями y=1-x^2 и y=x+1
Уравнение функции y=1-x^2 является парабола с ветвями направленными вниз и вершиной в точке(0;1).
Уравнение y=x+1- уравнение прямой.
Необходимо вначале найти точки пересечения функций
х+1=1-x^2
x^2+x=0
x(x+1)=0
x1=0  x2=-1
Получили две точки пересечения графиков -1 и 0
Необходимо найти площадь фигуры сверху ограниченной параболой y=1-х^2, а снизу ограниченной прямой у=1+х на интервале от -1 до 0
Найдем эту площадь
S= интегр[от-1 до 0](1-x^2-1-x)dx =интегр[от -1 до 0](-x^2-x)dx =
-(1/3)x^3-(1/2)x^2 [ от-1 до 0] = -(1/3)*0-(1/2)*0 +(1/3)*(-1)^3+(1/2)*(-1)^2 =-1/3+1/2=
1/6
Ответ:1/6
 

Answer 2

Найдем абсциссы точек пересечения линий:
$1-x^2=x+1\\ x^2+x=0\\ x(x+1)=0\\ x_1=-1,\ x_2=0\\\\ S=\int\limits_{-1}^{0}(1-x^2-x-1)}dx=\int\limits_{-1}^{0}(-x^2-x)}dx=-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}|_{-1}^0=\\=0-(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}.$

Answer 3

Для вычисления площади области, ограниченной двумя кривыми, в данном случае y = 1 - x^2 и y = x + 1, мы можем использовать метод интегрирования. Необходимо найти точки пересечения этих двух кривых, а затем найти интеграл от разности этих функций в пределах этих точек.

Найдем точки пересечения кривых:

Для этого приравняем уравнения к друг другу: 1 - x^2 = x + 1

Раскроем скобки: -x^2 - x = 0

Перенесем все в левую часть уравнения: -x^2 - x - 0 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней: Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

В нашем случае: a = -1, b = -1, c = 0

Подставим значения в формулу: D = (-1)^2 - 4(-1)(0) = 1

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (1 + 1) / (2 * -1) = 2 / -2 = -1 x2 = (-b - √D) / (2a) = (1 - 1) / (2 * -1) = 0 / -2 = 0

Теперь, когда у нас есть значения x, мы можем найти соответствующие значения y, подставив их в уравнения кривых.

Для y = 1 - x^2: y1 = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0 y2 = 1 - 0^2 = 1 - 0 = 1

Для y = x + 1: y1 = -1 + 1 = 0 y2 = 0 + 1 = 1

Таким образом, точки пересечения кривых: (-1, 0) и (0, 1).

Вычислим площадь области:

Теперь мы можем найти интеграл от разности этих функций в пределах этих точек. Площадь может быть найдена с помощью следующего интеграла:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - это верхняя функция, а g(x) - это нижняя функция, a и b - это точки пересечения.

В нашем случае, у нас есть две точки пересечения (-1, 0) и (0, 1). Функция y = x + 1 находится выше функции y = 1 - x^2 в интервале от -1 до 0, поэтому мы возьмем y = x + 1 в качестве верхней функции, а y = 1 - x^2 в качестве нижней функции.

Таким образом, площадь области может быть вычислена следующим образом:

S = ∫[-1,0] (x + 1 - (1 - x^2)) dx

Проинтегрируем это выражение:

S = ∫[-1,0] (2x + x^2) dx

Вычислим интеграл:

S = [(x^2)/2 + (x^3)/3] [-1,0] S = (0^2)/2 + (0^3)/3 - ((-1)^2)/2 - ((-1)^3)/3 S = 0 + 0 - 1/2 + 1/3 S = -1/2 + 1/3 S = -3/6 + 2/6 S = -1/6

Таким образом, площадь области, ограниченной кривыми y = 1 - x^2 и y = x + 1, составляет -1/6 единицы площади.