Question

Преподавателям математики “Фоксфорда” нужно составить олимпиаду для всех классов с 5 по 11, по 20 задач в каждой параллели. Какое наименьшее количество задач им нужно придумать, если одну и ту же задачу нельзя использовать более, чем в трех классах, и для каждого класса должно быть хотя бы 15 задач, которые не встречаются в других классах?

Answer 1

Классов всего 7, значит, задач всего 7*20 = 140.
В каждом классе должно быть 15 уникальных задач, то есть 15*7 = 105,
и по 5 задач повторяется.
Берем 5 задач, ставим их в 5, 6, 7 классы. Еще 5 задач в 8, 9, 10 классы.
И в 11 классе еще 5 задач. Всего 105 + 5 + 5 + 5 = 120 задач.

Мой ответ, хотя он признан Лучшим, отправили на исправление с такой формулировкой:
Мне кажется, последние 35 задач можно добавить, придумав [35 / 3] + 1 = 12 уникальных задач, а не 15.
Может, это и верно, но придумать такую схему мне не удалось.
Более того, при любой другой схеме у меня получалось 16 доп. задач или больше.
Модератор, видимо, меня очень любит, и подсказал правильный ответ.
Ставим 1 задачу в 5, 6, 7 класс, 2 задачу в 8, 9, 10 класс, 3 задачу в 5, 6, 11.
4 задачу в 7, 8, 9 класс, 5 задачу в 5, 10, 11 класс, 6 задачу в 6, 7, 8 класс,
7 задачу в 9, 10, 11 класс, 8 задачу в 5, 6, 7 класс, 9 задачу в 8, 9, 10 класс,
10 задачу в 5, 6, 11 класс, 11 задачу в 7, 8, 9 класс, 12 задачу в 10 и 11 класс.
В каждом классе получилось по 5 задач дополнительно к 15 уникальным.

Answer 2

Есть подозрение, что потребуется 120 задач.
Всего имеется 7 классов. По 15 задач должно быть уникальных в каждом классе. Значит 15*7=105 уникальных задач уже должно быть. Осталось придумать 7*5=35 задач. Так как одну задачу можно использовать в трёх классах, то берём для первых трёх классов (5, 6 и 7) 5 одинаковых задач, для второй тройки (8, 9, и 10) ещё 5 задач и для оставшегося 11 класса ещё пять задач. Итого получилось 105+5+5+5=120 уникальных задач потребуется для олимпиады.
Вроде так как-то.

Answer 3

Для составления олимпиады для всех классов с 5 по 11, с 20 задач в каждой параллели, преподавателям математики "Фоксфорда" нужно придумать как минимум 105 задач.

Для каждого класса должно быть хотя бы 15 задач, которые не встречаются в других классах. Таким образом, для каждого класса нужно придумать по 15 уникальных задач. Учитывая, что одну и ту же задачу нельзя использовать более чем в трех классах, общее количество уникальных задач будет равно 15 * 7 = 105 задач.

Таким образом, наименьшее количество задач, которое им нужно придумать, равно 105.