Question

Дослідити функцію на опуклість і точки перетину y=5x³+3x²-1

Answer 1

Y=5x³+3x²-1
1. D(y)=R
2. y'=(5x³+3x²-1)'=5*(x³)'+3*(x²)'-1'=15x²+6x
3. D(y')=R
4. y'=0, 15x²+6x=0, 3x*(5x+2)=0. 3x=0 или 5x+2=0
x₁=0, x₂=-0,4
5. 
y'       +                            -                        +
----------------(-0,4)---------------(0)--------------------->x
y   возраст   max    убыв     min   возраст
 функция возрастает при х ∈(-∞;-0,4)U(0;∞)
 функция убывает при x∈(-0,4;0)
6. y''(5x³+3x²-10''=((5x³+3x²-1)')'=(15x²+6x)'=30x+6
7. y''=0, 30x+6=0, x=-6/30, x=-1/5, x=-0,2
8. 
y''     -                        +
---------------(-0,2)---------------------->x
y       ∩     точка           ∪
              перегиба 
 y(-0,2)=5*(-0,2)³+3*(-0,2)²-1=-0,92

 функция выпуклая вверх при x∈(-∞;-0,2)
 функция выпуклая вниз   при x∈(-0,2;∞ )
 точка перегиба A(-0,2; -0,92)              

Answer 2

Щоб дослідити функцію на опуклість та знайти точки перетину, ми спочатку проаналізуємо її похідні. Для цього ми візьмемо похідну функції y = 5x³ + 3x² - 1.

Знаходження похідної:

Для знаходження похідної функції, використаємо правила диференціювання. Похідна дозволяє нам з'ясувати, як функція змінюється залежно від зміни аргументу.

Похідна від функції y = 5x³ + 3x² - 1 буде: y' = (3*5)x² + (2*3)x + 0 y' = 15x² + 6x

Визначення опуклості:

Функція є опуклою вгору, якщо друга похідна є додатною (y'' > 0) на всьому проміжку визначення функції. В іншому випадку, якщо друга похідна є від'ємною (y'' < 0), функція є опуклою вниз.

Знаходження другої похідної:

Друга похідна буде: y'' = d/dx (15x² + 6x) y'' = 30x + 6

Визначення опуклості:

Тепер ми можемо визначити, коли функція є опуклою або опуклою вниз, шляхом з'ясування знаку другої похідної.

Якщо y'' > 0, функція є опуклою вгору. Якщо y'' < 0, функція є опуклою вниз.

Знаходження точок перетину:

Щоб знайти точки перетину з осі OX (y = 0), ми можемо встановити рівняння y = 5x³ + 3x² - 1 рівним нулю і вирішити його.

5x³ + 3x² - 1 = 0

Існують різні способи розв'язання цього рівняння, такі як методи численного розв'язання або використання квадратних формул, але для цього конкретного рівняння немає простого аналітичного розв'язку. Тому ми можемо використати чисельні методи, такі як метод Ньютона або метод дихотомії, щоб знайти наближені значення.

Загалом, для дослідження функції на опуклість і знаходження точок перетину використовується аналіз похідних функції. Після знаходження похідних, ми аналізуємо знак другої похідної, щоб визначити опуклість функції, і вирішуємо рівняння для знаходження точок перетину з осі OX.