Question

Наибольшее значение функции f(x) = ln(2x - x^2)

Answer 1

Применены формулы дифференцирования, взаимозависимость функции и производной, область определения логарифма

Answer 2

Функция f(x) = ln(2x - x^2) является логарифмической функцией, где x представляет собой независимую переменную. Давайте разберемся подробнее в ее свойствах и наибольшем значении.

Область определения функции

Для того чтобы функция была определена, аргумент под логарифмом должен быть положительным. В данном случае, 2x - x^2 должно быть больше нуля. Решим неравенство:

2x - x^2 > 0

Перепишем его в виде квадратного уравнения:

x^2 - 2x < 0

Факторизуем его:

x(x - 2) < 0

Теперь найдем интервалы, на которых выполняется неравенство. Для этого рассмотрим знаки многочлена на каждом интервале:

-∞ < x < 0: (-)(-) < 0, неравенство не выполняется 0 < x < 2: (+)(-) < 0, неравенство выполняется 2 < x < +∞: (+)(+) > 0, неравенство не выполняется

Таким образом, область определения функции f(x) - это интервал (0, 2).

Производная функции

Для нахождения наибольшего значения функции, мы можем использовать производные. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = (1/(2x - x^2)) * (2 - 2x)

Критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

f'(x) = 0

(1/(2x - x^2)) * (2 - 2x) = 0

2 - 2x = 0

2 = 2x

x = 1

Таким образом, критическая точка функции f(x) находится при x = 1.

Вторая производная

Для определения характера этой точки (максимум, минимум или точка перегиба), найдем вторую производную:

f''(x) = (2/(2x - x^2))^2 - (1/(2x - x^2)) * (-2 + 2x)

Определение наибольшего значения

Максимальное значение функции f(x) будет достигаться в точке, где производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Найдем такую точку, приравняв вторую производную к нулю и решив уравнение:

f''(x) = 0

(2/(2x - x^2))^2 - (1/(2x - x^2)) * (-2 + 2x) = 0

Упростим уравнение и решим его:

(4/(2x - x^2))^2 + (2 - 2x)/(2x - x^2) = 0

Решение этого уравнения будет сложным и включать в себя квадратные корни. Однако, мы можем использовать численные методы или график функции, чтобы найти приближенное значение этой точки.

Важно отметить, что наибольшее значение функции f(x) может быть достигнуто в точке x = 1 или на границах области определения (0, 2).

Если вам нужно более точное значение наибольшего значения функции f(x), я могу помочь вам построить график функции или использовать численные методы для его нахождения.