Question

Доказать, что, если сумма цифр числа равна 9, то всё число делится на 9.

Answer 1

Пусть N=...abcd, где a, b, c, d - цифры. Само число N= d+10c+100b+1000a+...
2N=2d+10*2c+100*2b+1000*2a+...Если какие-либо из цифр a, b, c, d больше 4, то 
2N=(2d-10)+10(2c+1-10)+100(2b+1)+1000*2a+...
Запишем равенство суммы цифр чисел N и 2N. 
d+c+b+a+...=(2d-10)+(2c-9)+(2b+1)+2a+...=2d+2c+2b+2a-9k+...где k-нат. число. 
Отсюда d+c+b+a+...=9k, где k-нат. число. Значит N делится на 9.

Answer 2

Чтобы доказать, что если сумма цифр числа равна 9, то число делится на 9, мы можем использовать свойство делимости на 9.

Свойство делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр также делится на 9.

Доказательство

Предположим, у нас есть некое число, сумма цифр которого равна 9. Пусть это число обозначается как N.

Мы можем представить это число как сумму его цифр, умноженных на соответствующие степени числа 10. Например, для числа 123, его представление будет следующим: 1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1.

Поскольку сумма цифр числа N равна 9, мы можем записать его как сумму цифр, равную 9: N = a + b + c + ... + z, где a, b, c, ..., z - цифры числа N.

Теперь мы можем представить число N как сумму его цифр, умноженных на соответствующие степени числа 10: N = a * 10^n + b * 10^(n-1) + c * 10^(n-2) + ... + z * 10^0.

Мы знаем, что 10 в любой степени (10^n) делится на 9, так как 9 * (10^n / 9) = 10^n. Следовательно, каждое слагаемое в представлении числа N, a * 10^n, b * 10^(n-1), c * 10^(n-2), ..., z * 10^0, также делится на 9.

Таким образом, сумма всех слагаемых, a * 10^n + b * 10^(n-1) + c * 10^(n-2) + ... + z * 10^0, будет делиться на 9.

Из этого следует, что число N, сумма цифр которого равна 9, также делится на 9.