Question

Докажите, что при всех k числа 2k+1 и 9k+4 взаимно просты.

Answer 1

Т.к. 9(2k+1)-2(9k+4)=1, то если какое-то натуральное число делит одновременно и 2k+1 и 9k+4, то оно делит и 1. Т.е. любой общий делитель этих чисел равен 1.

Answer 2

Для доказательства взаимной простоты двух чисел, нам необходимо показать, что у них нет общих делителей, кроме 1.

Пусть у нас есть два числа k и m, такие что k = 2k + 1 и m = 9k + 4. Чтобы показать, что эти числа взаимно просты, мы должны предположить, что у них есть общий делитель d, и затем показать, что этот делитель может быть только равен 1.

Предположим, что d - общий делитель чисел k и m. Тогда d также должен быть делителем разности между этими числами, то есть d должен делиться на (m - k). Давайте вычислим это:

m - k = (9k + 4) - (2k + 1) = 9k + 4 - 2k - 1 = 7k + 3.

Теперь, если d является делителем чисел k и m, то он также должен быть делителем разности (7k + 3). Если мы предположим, что d не равно 1, то он должен быть больше 1.

Теперь обратимся к числу (7k + 3). Заметим, что это число имеет вид "7k + 3", и мы знаем, что 7k делится на 7. Значит, (7k + 3) также делится на 7. Если d является делителем (7k + 3), то это означает, что d делится на 7.

Теперь мы знаем, что d делится на (7k + 3) и при этом d делится на k. Вспомним, что k = 2k + 1. Если d делится на k, то он также должен делиться на (2k + 1). Таким образом, мы видим, что d делится и на (7k + 3), и на (2k + 1).

Но эти два числа являются простыми, поскольку k и m были определены как 2k + 1 и 9k + 4 соответственно. Таким образом, мы приходим к противоречию.

Наше предположение, что у чисел k и m есть общий делитель d, оказывается неверным. Э