Question

3^(6x-3)=2*27^(x-2/3) +1 через замену

Answer 1

3^(6x-3)=2*27^(x-2/3) +1
(27^x)^2 / 27 = 2 * 27^x / ∛(27^2) + 1
(27^x)^2 / 27 = 2 / 9 * 27^x + 1
(27^x)^2 = 6 * 27^x + 27
Пусть 27^x = t > 0, тогда
t^2 - 6t - 27 = 0
D = (-6)^2 - 4*1*(-27)=144
t(1,2) = (6+-√144)/2
t1=9
t2=-6 - не подходит, т.к. t>0
27^x=9
3^(3x)=3^2
3x=2
x=2/3

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод замены переменных. Давайте приступим к его решению.

Пусть u = 3^x. Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:

3^(6x-3) = 2 * 27^(x-2/3) + 1

(3^x)^6 * 3^(-3) = 2 * (3^3)^(x-2/3) + 1

u^6 * (1/3^3) = 2 * (3^3)^(x-2/3) + 1

u^6 * (1/27) = 2 * (3^(3*(x-2/3))) + 1

Теперь давайте рассмотрим вторую часть уравнения: 2 * (3^(3*(x-2/3))) + 1. Заметим, что 3^3 = 27. Тогда мы можем переписать это выражение следующим образом:

2 * (3^(3*(x-2/3))) + 1 = 2 * 27^(x-2/3) + 1

Теперь мы можем заменить это выражение в нашем исходном уравнении:

u^6 * (1/27) = 2 * (3^(3*(x-2/3))) + 1

u^6 * (1/27) = u^6 * (2 * 27^(x-2/3) + 1)

Теперь обратим внимание, что u^6 является общим множителем на обеих сторонах уравнения, поэтому мы можем сократить его:

1/27 = 2 * 27^(x-2/3) + 1

Теперь давайте решим полученное уравнение:

2 * 27^(x-2/3) + 1 = 1/27

2 * 27^(x-2/3) = 1/27 - 1

2 * 27^(x-2/3) = -26/27

Теперь давайте избавимся от коэффициента 2, умножив обе стороны уравнения на 1/2:

27^(x-2/3) = -13/27

Теперь давайте возведем обе стороны уравнения в степень 3/2 (корень 3 степени):

(27^(x-2/3))^(3/2) = (-13/27)^(3/2)

27^((x-2/3)*(3/2)) = (-13/27)^(3/2)

Теперь мы можем упростить обе стороны уравнения:

27^(3/2 * x - 1) = (-13/27)^(3/2)

Теперь обратим внимание, что 27^(3/2) = (3^3)^(3/2) = 3^9. Заменим это выражение в уравнении:

(3^9)^(x - 1) = (-13/27)^(3/2)

3^(9 * (x - 1)) = (-13/27)^(3/2)

Теперь возведем обе стороны уравнения в степень 1/9:

(3^(9 * (x - 1)))^(1/9) = ((-13/27)^(3/2))^(1/9)

3^((9 * (x - 1)) * (1/9)) = (-13/27)^((3/2) * (1/9))

Теперь мы можем упростить обе стороны уравнения:

3^(x - 1) = (-13/27)^(1/6)

Теперь возведем обе стороны уравнения в степень 1/(x-1):

(3^(x - 1))^(1/(x-1)) = ((-13/27)^(1/6))^(1/(x-1))

3^1 = (-13/27)^(1/(6*(x-1)))

Теперь мы можем упростить обе стороны уравнения:

3 = (-13/27)^(1/(6*(x-1)))

Теперь заметим, что (-13/27) является отрицательным числом. Поскольку мы возводим отрицательное число в степень, которая является обратной к четному числу, результат будет комплексным числом. Это означает, что уравнение не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, уравнение 3^(6x-3) = 2*27^(x-2/3) + 1 не имеет решений в действительных числах при данной замене переменных.