Question

Найдите наименьшее значение функции у=х^3+24х^2+13 на отрезке [-4; 4]

Answer 1

Y=x³+24x²+13
y`=3x²+48x=3x(x+16)=0
x=0∈[-4;4]
x=-16∉[-4;4]
y(-4)=-64+384+13=333
y(0)=13 наим
y(4)=64+384+13=461

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = x^3 + 24x^2 + 13 на отрезке [-4; 4] найдем сначала производную этой функции:

y' = 3x^2 + 48x

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

3x^2 + 48x = 0 3x(x + 16) = 0 x = 0 или x = -16

Теперь найдем значение функции в этих точках:

y(-4) = (-4)^3 + 24(-4)^2 + 13 = -95 y(0) = 0^3 + 24(0)^2 + 13 = 13 y(4) = 4^3 + 24(4)^2 + 13 = 269

Таким образом, наименьшее значение функции y = x^3 + 24x^2 + 13 на отрезке [-4; 4] равно -95.

Answer 3

Для поиска наименьшего значения функции \( y = x^3 + 24x^2 + 13 \) на отрезке \([-4; 4]\) нужно выполнить несколько шагов.

Нахождение критических точек

1. Найдем производную функции \( y = x^3 + 24x^2 + 13 \). \[ y' = 3x^2 + 48x \] 2. Решим уравнение \( y' = 0 \) для нахождения критических точек. \[ 3x^2 + 48x = 0 \] \[ 3x(x + 16) = 0 \] \[ x = 0 \] или \( x = -16 \)

Проверка на экстремумы

3. Для определения, являются ли найденные критические точки экстремумами, нужно проанализировать вторую производную. \[ y'' = 6x + 48 \] 4. Подставим найденные критические точки \( x = 0 \) и \( x = -16 \) во вторую производную. \[ y''(0) = 48, \quad y''(-16) = -48 \] Где \( y''(0) = 48 \) указывает на локальный минимум, а \( y''(-16) = -48 \) указывает на локальный максимум.

Определение минимума на отрезке

5. Так как на отрезке \([-4; 4]\) критическая точка \( x = -16 \) находится за пределами этого отрезка, нам нужно вычислить значения функции в концах отрезка и в критической точке \( x = 0 \). - При \( x = -4 \): \( y = (-4)^3 + 24(-4)^2 + 13 = -167 \) - При \( x = 0 \): \( y = 0^3 + 24(0)^2 + 13 = 13 \) - При \( x = 4 \): \( y = 4^3 + 24(4)^2 + 13 = 389 \) 6. Сравним найденные значения и определим, что наименьшее значение функции \( y = x^3 + 24x^2 + 13 \) на отрезке \([-4; 4]\) равно \(-167\) и достигается при \( x = -4 \).

Таким образом, наименьшее значение функции \( y = x^3 + 24x^2 + 13 \) на отрезке \([-4; 4]\) равно \(-167\) и достигается при \( x = -4 \).