Question

Тригонометрия.10 класс Решить уравнение: 1)корень из 2sin3t-1=0 2)2cos^2 x-5cosx+2=0

Answer 1

Sqrt - квадратный корень
П - "пи"

1) sin3t=1/sqrt(2)
3t=(-1)^n *arcsin(1/sqrt(2))+Пn, nєZ
t=(-1)^n *П/12+Пn/3, nєZ

2) замена cosx=y
2y^2-5y+2=0
D=(-5)^2-4*2*2=25-8=17
y=(5±sqrt(17))/4
cosx=(5+sqrt(17))/4                                  cosx=(5-sqrt(17))/4
x=±arccos((5+sqrt(17))/4)+2Пn, nєZ        x=±arccos((5-sqrt(17))/4)+2Пn, nєZ

Answer 2

Решение уравнения 1: $\sqrt{2} \sin(3t) - 1 = 0$

Для решения этого уравнения сначала нужно избавиться от корня. Для этого мы будем использовать свойство равенства нулю квадратного корня. То есть, если $\sqrt{a} = 0$, то $a = 0$.

1. Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

$\sqrt{2} \sin(3t) = 1$

2. Теперь избавимся от корня, возводя обе стороны уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2} \sin(3t))^2 = 1^2$

$2 \sin^2(3t) = 1$

3. Разделим обе стороны уравнения на 2:

$\sin^2(3t) = \frac{1}{2}$

4. Теперь найдем все значения угла $3t$, для которых $\sin^2(3t) = \frac{1}{2}$.

Используя тригонометрическую идентичность $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$, мы можем записать:

$\sin^2(3t) = \frac{1}{2}$

$\cos^2(3t) = 1 - \sin^2(3t) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Итак, $\cos^2(3t) = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем значения угла $3t$, для которых $\cos(3t) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\cos(3t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\cos(3t) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Используя значения из таблицы тригонометрических функций или калькулятора, мы можем найти значения угла $3t$:

$\cos(3t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies 3t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$

$\cos(3t) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies 3t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$

Где $k$ - целое число.

5. Теперь найдем значения $t$:

Для первого случая: $t = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{7\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$

Для второго случая: $t = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$

Где $k$ - целое число.

Это все решения уравнения $\sqrt{2} \sin(3t) - 1 = 0$.

Решение уравнения 2: $2 \cos^2(x) - 5 \cos(x) + 2 = 0$

Для решения этого уравнения, мы можем использовать метод замены переменных. Обозначим $\cos(x) = u$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения:

$2u^2 - 5u + 2 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать метод факторизации или квадратное уравнение:

1. Разложим левую сторону уравнения:

$(2u - 1)(u - 2) = 0$

2. Найдем значения $u$:

$2u - 1 = 0 \implies u = \frac{1}{2}$

$u - 2 = 0 \implies u = 2$

3. Теперь найдем значения $x$:

Для первого случая: $\cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$

Для второго случая: $\cos(x) = 2$ - невозможно, так как косинус не может быть больше 1 или меньше -1.

Это все решения уравнения $2 \cos^2(x) - 5 \cos(x) + 2 = 0$.