Question

центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки, равные 5 см и 2 см. найдите площадь этого треугольника

Answer 1

Cделаем и рассмотрим рисунок.
Центр окружности лежит на высоте. Вершины треугольника лежат на окружности.

Следовательно, отрезок от вершины В до цетнра О - радиус окружности.

Он равен 5.
Соединим центр с любой из других вершин углов треугольника, т.к.он равнобедренный и выбор не влияет на решение.
Получим прямоугольный треугольник АОН, в котором АН, половина основания треугольника,  и отрезок ОН - катеты, а ОА - (радиус окружности) - гипотенуза.
По т.Пифагора найдем АН -половину основания АС.
АН²=АО²-ОН²
АН²=5²-2²=21
АН=√21
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
Высота равна 5+2=7см
S=7√21cм²

 Но:

----------------------------------------------------
Возможно, в условии задачи ошибкаи высота центром делится не на 5 и 2, а на 5 см и 4 см
Тогда
АН²=5²-4²=9
АН=3
S=7*3=21 cм²

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника и окружности, описанной вокруг него.

Свойства равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. В данной задаче у нас имеется равнобедренный треугольник, и мы знаем, что центр описанной окружности лежит на высоте этого треугольника.

Свойства окружности, описанной вокруг треугольника

Окружность, описанная вокруг треугольника, проходит через вершины этого треугольника. В данной задаче у нас есть равнобедренный треугольник, и мы знаем, что центр описанной окружности лежит на высоте этого треугольника.

Решение задачи

По условию задачи, высота треугольника делится на отрезки, равные 5 см и 2 см. Пусть высота треугольника равна h см. Тогда мы можем записать следующее:

h = 5 см + 2 см = 7 см

Таким образом, высота треугольника равна 7 см.

Так как центр описанной окружности лежит на высоте треугольника, то он делит высоту на две равные части. Поэтому расстояние от вершины треугольника до центра описанной окружности равно половине высоты треугольника, то есть 7 см / 2 = 3.5 см.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого одна из сторон равна 3.5 см, а другая сторона — это радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

По свойствам окружности, радиус проведенный к стороне треугольника, является перпендикуляром к этой стороне и делит ее пополам. Так как треугольник равнобедренный, то радиус окружности также делит основание треугольника пополам.

Таким образом, длина основания треугольника равна 2 * 3.5 см = 7 см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

Площадь треугольника = (основание * высота) / 2

Подставляя значения, получаем:

Площадь треугольника = (7 см * 7 см) / 2 = 49 см² / 2 = 24.5 см²

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника составляет 24.5 см².