Question

Помогите! Для любого t доказать неравенство: t^4-t+1/2>0

Answer 1

T^4> 0 и t^4> t всегда
t^4-t положительное=>
t^4-t>-1/2
всегда

Answer 2

Чтобы доказать неравенство t^4 - t + 1/2 > 0 для любого значения t, мы можем использовать методы анализа функций или алгебры. Давайте разберемся подробнее.

Анализ функции:

Мы можем рассмотреть данную функцию как функцию одной переменной f(t) = t^4 - t + 1/2 и проанализировать ее поведение на всей числовой оси.

1. Нахождение критических точек: Для начала найдем точки, где производная функции равна нулю. Для этого возьмем производную функции f(t) по переменной t и приравняем ее к нулю:

f'(t) = 4t^3 - 1 = 0

Теперь решим уравнение для t:

4t^3 - 1 = 0 4t^3 = 1 t^3 = 1/4 t = (1/4)^(1/3)

Таким образом, у нас есть одна критическая точка t = (1/4)^(1/3) ≈ 0.6299.

2. Анализ знаков производной: Теперь определим знаки производной функции f'(t) в разных интервалах числовой оси, используя критическую точку:

a) t < (1/4)^(1/3): Если t меньше критической точки, то подставим t = 0 в производную f'(t): f'(0) = 4(0)^3 - 1 = -1 Таким образом, на этом интервале производная отрицательна.

b) t > (1/4)^(1/3): Если t больше критической точки, то подставим t = 1 в производную f'(t): f'(1) = 4(1)^3 - 1 = 3 Таким образом, на этом интервале производная положительна.

Теперь мы можем составить знаковую таблицу для производной функции f'(t):

| t | < (1/4)^(1/3) | > (1/4)^(1/3) | |:-------:|:-------------------:|:-------------------:| | f'(t) | (-) | (+) |

3. Анализ значений функции: Теперь, зная знаки производной функции на разных интервалах, мы можем проанализировать значения самой функции f(t) на этих интервалах.

a) t < (1/4)^(1/3): Учитывая, что производная отрицательна на этом интервале, функция f(t) будет убывать на нем. Давайте проверим значение функции в какой-нибудь точке на этом интервале. Для этого возьмем t = -1:

f(-1) = (-1)^4 - (-1) + 1/2 = 1 + 1 + 0.5 = 2.5

Таким образом, на этом интервале функция f(t) принимает только положительные значения.

b) t > (1/4)^(1/3): Учитывая, что производная положительна на этом интервале, функция f(t) будет возрастать на нем. Давайте проверим значение функции в какой-нибудь точке на этом интервале. Для этого возьмем t = 1:

f(1) = (1)^4 - (1) + 1/2 = 1 - 1 + 0.5 = 0.5

Таким образом, на этом интервале функция f(t) принимает только положительные значения.

Вывод:

Исходя из анализа функции f(t) = t^4 - t + 1/2, мы видим, что она принимает только положительные значения на всей числовой оси. То есть, неравенство t^4 - t + 1/2 > 0 выполняется для любого значения t.

Проверим это, подставив произвольное значение t в неравенство:

Пусть t = 0: 0^4 - 0 + 1/2 = 0 - 0 + 1/2 = 1/2 > 0

Пусть t = -1: (-1)^4 - (-1) + 1/2 = 1 + 1 + 1/2 = 2.5 > 0

Пусть t = 1: 1^4 - 1 + 1/2 = 1 - 1 + 1/2 = 0.5 > 0

Во всех трех случаях неравенство выполняется, что подтверждает наш вывод.

Таким образом, мы доказали, что неравенство t^4 - t + 1/2 > 0 выполняется для любого значения t.